Сила давления на плоскую стенку
Урок о том, какую силу испытывает стенка резервуара или затвор плотины и где она приложена.
Сила давления на стенку — равнодействующая распределённого гидростатического давления по всей смоченной поверхности.
Давление растёт с глубиной, поэтому на стенку оно давит неравномерно: внизу сильнее, вверху слабее. Чтобы рассчитать затвор, плотину или стенку бака, нужно найти суммарную силу и точку её приложения.
Полная сила на вертикальную стенку
Среднее давление на стенку равно давлению на глубине её центра тяжести $h_c$. Поэтому полная сила равна среднему давлению, умноженному на площадь:
$$ F = \rho g\, h_c\, A $$
Для прямоугольной стенки шириной $b$ и глубиной $H$, доходящей до поверхности, центр тяжести на глубине $H/2$, площадь $bH$, и сила равна:
$$ F = \rho g\, \frac{H}{2}\, b H = \frac{\rho g\, b\, H^2}{2} $$
Сила растёт пропорционально квадрату глубины — вот почему плотины внизу делают толще.
Центр давления
Поскольку давление внизу больше, равнодействующая приложена ниже центра тяжести — в центре давления. Для прямоугольной стенки, доходящей до поверхности, центр давления лежит на глубине:
$$ h_d = \frac{2}{3} H $$
То есть на двух третях глубины от поверхности. Это важно для расчёта момента, опрокидывающего затвор.
Считаем силу на затвор
Прямоугольный затвор шириной $3\ \text{м}$ перекрывает воду глубиной $4\ \text{м}$. Найдём силу и глубину её приложения.
import math
rho = 1000.0
g = 9.81
b = 3.0 # ширина затвора, м
H = 4.0 # глубина воды, м
F = rho * g * b * H ** 2 / 2 # полная сила, Н
h_d = 2.0 / 3.0 * H # центр давления, м
M = F * (H - h_d) # момент относительно дна, Н·м
print(round(F, 1))
print(round(h_d, 3))
print(round(M, 1))Вывод:
235440.0 2.667 313920.0
Затвор испытывает силу более $235\ \text{кН}$, приложенную на глубине $2{,}67\ \text{м}$. Момент относительно нижней оси — почти $314\ \text{кН}\cdot\text{м}$; на него и рассчитывают петли и опоры.
Как работает под капотом
Распределённое давление образует на стенке треугольную эпюру: вверху ноль, внизу максимум $\rho g H$. Площадь этого треугольника на единицу ширины — это сила на единицу ширины, а центр тяжести треугольника как раз на $1/3$ высоты от основания, то есть на $2/3$ глубины от поверхности. Так геометрия эпюры давления сразу даёт и величину силы, и точку приложения. Для наклонных и фигурных стенок эпюра сложнее, но идея та же: интегрируем давление по площади.
Частые ошибки
- Берут максимальное давление вместо среднего — сила завышается вдвое.
- Прикладывают силу к центру тяжести стенки, а не к центру давления.
- Забывают, что сила растёт как $H^2$, и недооценивают глубокие резервуары.
- Путают глубину центра тяжести $h_c$ и глубину центра давления $h_d$.
Итог
- Полная сила на стенку: $F = \rho g\, h_c\, A$ (через давление в центре тяжести).
- Для прямоугольной стенки до поверхности: $F = \rho g b H^2/2$.
- Центр давления лежит ниже центра тяжести, для такой стенки — на $\frac{2}{3}H$.
- Сила пропорциональна квадрату глубины — основа конструкции плотин.