Закон Архимеда, плавание и остойчивость

Урок о том, почему стальной корабль плавает, а стальной гвоздь тонет.

Закон Архимеда: на тело, погружённое в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости.

Архимедова сила объясняет плавание судов, работу ареометров, подъём воздушных шаров и устойчивость понтонов. Это прямое следствие того, что давление растёт с глубиной.

Выталкивающая сила

$$ F_A = \rho_{\text{ж}}\, g\, V_{\text{погр}} $$

где $\rho_{\text{ж}}$ — плотность жидкости, $V_{\text{погр}}$ — объём погружённой части тела. Сила направлена вверх и приложена в центре тяжести вытесненного объёма — точке, которую называют центром водоизмещения.

Условие плавания

Сравним вес тела $P = \rho_{\text{т}} g V$ и максимальную выталкивающую силу при полном погружении:

$$\begin{cases} \rho_{\text{т}} \lt \rho_{\text{ж}} & \text{тело всплывает} \\ \rho_{\text{т}} = \rho_{\text{ж}} & \text{плавает на любой глубине} \\ \rho_{\text{т}} \gt \rho_{\text{ж}} & \text{тонет} \end{cases}$$

Плавающее тело погружается ровно настолько, чтобы вес вытесненной жидкости сравнялся с его весом. Доля погружения равна отношению плотностей: $V_{\text{погр}}/V = \rho_{\text{т}}/\rho_{\text{ж}}$.

Считаем осадку понтона

Прямоугольный понтон $4\times 2\ \text{м}$ в плане и массой $1500\ \text{кг}$ нагрузили $2000\ \text{кг}$. На какую глубину он сядет в пресной воде?

import math

rho = 1000.0
g = 9.81
L, B = 4.0, 2.0      # размеры понтона в плане, м
m_total = 1500 + 2000   # полная масса, кг

weight = m_total * g            # вес, Н
# F_A = rho*g*(L*B*draft) = weight  ->  draft
draft = weight / (rho * g * L * B)

print(round(weight, 1))
print(round(draft, 3))

Вывод:

34335.0
0.438

Понтон осядет на $0{,}438\ \text{м}$. Если борт ниже этой осадки, понтон затонет — так проверяют грузоподъёмность.

Остойчивость

Остойчивость — способность плавающего тела возвращаться в исходное положение после крена.

При наклоне центр водоизмещения смещается в сторону крена, и линия действия архимедовой силы пересекает ось симметрии в точке — метацентре $M$. Если метацентр выше центра тяжести $G$, возникает восстанавливающий момент — тело остойчиво. Метацентрическая высота $GM \gt 0$ — условие устойчивого плавания. Поэтому в трюм судна кладут балласт: он опускает $G$ и повышает остойчивость.

Как работает под капотом

Архимедова сила — не отдельный закон природы, а следствие гидростатики. Давление на нижнюю грань тела больше, чем на верхнюю, потому что низ глубже. Разность этих давлений, проинтегрированная по поверхности, и даёт направленную вверх силу, в точности равную весу вытесненной жидкости. Стальной корабль плавает потому, что его средняя плотность (вместе с воздухом внутри корпуса) меньше плотности воды: он вытесняет огромный объём воды, вес которой уравновешивает вес стали и груза.

Частые ошибки

Берут полный объём тела вместо объёма погружённой части для плавающего тела.
Используют плотность тела вместо плотности жидкости в формуле $F_A$.
Считают, что остойчивость зависит только от того, плавает ли тело (нужна ещё $GM \gt 0$).
Забывают, что в солёной воде осадка меньше из-за большей плотности.

Итог

Сила Архимеда $F_A = \rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}}$, направлена вверх.
Тело всплывает, тонет или висит в зависимости от соотношения плотностей.
Доля погружения равна $\rho_{\text{т}}/\rho_{\text{ж}}$.
Остойчивость требует, чтобы метацентр был выше центра тяжести ($GM \gt 0$).