Гидростатическое давление: p = ρgh

Урок о том, почему уши закладывает при погружении и как глубина превращается в давление.

Гидростатическое давление — давление, создаваемое весом столба покоящейся жидкости над рассматриваемой точкой.

Под водой давление растёт с каждым метром. Это не абстракция: на нём держатся плотины, работают гидравлические уровни и рассчитываются стенки резервуаров. Закон, описывающий это, — самый часто применяемый в гидравлике.

Вывод закона

Выделим в жидкости вертикальный столбик площадью $A$ и высотой $h$. Его вес равен $\rho g h A$. Этот вес давит на нижнее основание, добавляя к давлению на поверхности $p_0$ величину $\rho g h$:

$$ p = p_0 + \rho g h $$

Если речь об избыточном давлении (отсчёт от поверхности, $p_0 = 0$), получаем основной закон гидростатики:

$$ p = \rho g h $$

Давление зависит только от плотности, ускорения свободного падения и глубины — и совсем не зависит от формы сосуда и количества жидкости.

Гидростатический парадокс

Из независимости от формы следует знаменитый парадокс: в узкой трубке и в широком баке при одной глубине давление на дно одинаково, хотя массы жидкости различаются в разы. Дело в том, что наклонные стенки бака берут на себя часть веса. Поэтому давление определяется именно вертикальной глубиной $h$, а не объёмом.

Считаем давление на глубине

На какой глубине в пресной воде избыточное давление достигает одной атмосферы? И каково абсолютное давление на дне озера глубиной $40\ \text{м}$?

import math

rho = 1000.0      # кг/м^3
g = 9.81          # м/с^2
p_atm = 101325.0  # Па

# глубина, дающая 1 атм избыточного давления
h_1atm = p_atm / (rho * g)

# абсолютное давление на 40 м
h = 40.0
p_abs = p_atm + rho * g * h

print(round(h_1atm, 2))
print(round(p_abs / 1e5, 3))   # в барах

Вывод:

10.33
4.937

Каждые $\approx 10{,}3\ \text{м}$ пресной воды добавляют атмосферу. На глубине $40\ \text{м}$ абсолютное давление почти $4{,}9\ \text{бар}$ — примерно впятеро больше атмосферного.

Пьезометрический напор

Давление часто выражают высотой столба жидкости — напором:

$$ h = \frac{p}{\rho g} $$

Это удобно: вместо «давление $49\ \text{кПа}$» говорят «напор $5\ \text{м}$ водяного столба». Манометр-пьезометр — это просто вертикальная трубка, в которой жидкость поднимается на высоту напора.

Как работает под капотом

Давление на глубине — результат суммирования веса всех слоёв сверху. Каждый тонкий слой давит на нижний, передавая ему свой вес плюс вес всего, что лежит выше. Поскольку жидкость почти несжимаема, плотность по высоте постоянна, и сумма превращается в простое произведение $\rho g h$. В океане на больших глубинах плотность чуть растёт из-за сжатия, и тогда закон становится интегральным, но в инженерной гидравлике этим почти всегда пренебрегают.

Частые ошибки

Берут наклонное расстояние вместо вертикальной глубины $h$.
Думают, что давление зависит от объёма или ширины сосуда (парадокс).
Забывают добавить $p_{\text{атм}}$, когда нужно именно абсолютное давление.
Используют плотность воздуха вместо плотности жидкости.

Итог

Основной закон гидростатики: $p = \rho g h$ (избыточное) или $p = p_0 + \rho g h$.
Давление зависит только от глубины и плотности, не от формы сосуда.
Каждые $\approx 10{,}3\ \text{м}$ воды дают примерно одну атмосферу.
Напор $h = p/(\rho g)$ выражает давление высотой столба.