Сжимаемость и модуль объёмной упругости

Урок о том, насколько вообще можно сжать жидкость и почему в гидравлике её считают несжимаемой.

Сжимаемость — свойство жидкости уменьшать объём под действием давления; характеризуется модулем объёмной упругости $K$.

Мы привыкли называть жидкость несжимаемой. Но это идеализация: под достаточным давлением вода всё же чуть сжимается. Понять, насколько именно, важно для гидроудара, акустики и точной гидравлики высокого давления.

Зачем учитывать сжимаемость

В большинстве задач гидравлики изменением объёма пренебрегают — оно ничтожно. Но есть явления, где именно сжимаемость играет главную роль: распространение звука и гидравлический удар при резком закрытии задвижки. Без неё эти эффекты вообще не существовали бы — давление передавалось бы мгновенно по всей трубе.

Модуль объёмной упругости

Модуль объёмной упругости $K$ показывает, какое давление нужно приложить, чтобы относительно сжать объём на единицу.

$$ K = -\,V\,\frac{dp}{dV} = -\,\frac{\Delta p}{\Delta V / V} $$

Знак минус стоит потому, что рост давления уменьшает объём ($dV \lt 0$), а модуль положителен. Единица $K$ — паскаль. Для воды $K \approx 2{,}1\cdot 10^{9}\ \text{Па}$ ($2{,}1\ \text{ГПа}$), для стали — на порядок больше. Большой модуль означает малую сжимаемость: чтобы заметно сжать воду, нужны огромные давления.

Относительное изменение объёма

Из определения сразу следует, как меняется объём при перепаде давления:

$$ \frac{\Delta V}{V} = -\,\frac{\Delta p}{K} $$

Сжимаемость $\beta = 1/K$ — обратная величина, иногда удобнее.

Считаем сжатие воды

На сколько процентов сожмётся вода, если давление поднять с атмосферного до $200\ \text{бар}$ (например, в установке гидрорезки)?

import math

K = 2.1e9        # Па, модуль объёмной упругости воды
dp = 200e5       # Па, перепад давления (200 бар)

dV_over_V = -dp / K           # относительное изменение объёма
percent = dV_over_V * 100

# во сколько раз выросла плотность (масса та же)
rho_ratio = 1 / (1 + dV_over_V)

print(round(dV_over_V, 6))
print(round(percent, 4))
print(round(rho_ratio, 5))

Вывод:

-0.009524
-0.9524
1.00962

Даже при $200\ \text{бар}$ вода сжимается меньше чем на $1\,\%$, а плотность растёт всего на $\approx 0{,}96\,\%$. Вот почему в обычной гидравлике воду уверенно считают несжимаемой.

Скорость звука в жидкости

Сжимаемость напрямую задаёт скорость распространения возмущений давления — скорость звука:

$$ a = \sqrt{\frac{K}{\rho}} $$

import math

K = 2.1e9
rho = 1000.0
a = math.sqrt(K / rho)
print(round(a, 1))

Вывод:

1449.1

Звук в воде распространяется со скоростью около $1450\ \text{м/с}$ — вчетверо быстрее, чем в воздухе. Эта же скорость определяет, как быстро по трубе бежит волна гидроудара.

Как работает под капотом

Сжимаемость отражает упругость межмолекулярных связей. Молекулы жидкости уже почти соприкасаются, и сблизить их ещё сильнее мешает резко нарастающее отталкивание электронных оболочек — отсюда огромный модуль $K$. Воздух, растворённый в жидкости, резко увеличивает её эффективную сжимаемость: даже несколько процентов пузырьков снижают модуль в разы и заметно уменьшают скорость звука. Поэтому в гидросистемах высокого давления тщательно удаляют воздух — иначе система становится «мягкой» и хуже передаёт усилие.

Частые ошибки

Считают жидкость абсолютно несжимаемой и там, где важен гидроудар или акустика.
Путают модуль упругости $K$ (большой, $\text{Па}$) и сжимаемость $\beta = 1/K$ (малую).
Забывают про растворённый воздух, резко повышающий сжимаемость.
Теряют знак: рост давления уменьшает объём.

Итог

Сжимаемость описывается модулем объёмной упругости $K = -V\,dp/dV$.
Для воды $K \approx 2{,}1\ \text{ГПа}$: даже сотни бар сжимают её менее чем на процент.
Относительное сжатие $\Delta V/V = -\Delta p/K$.
Скорость звука $a = \sqrt{K/\rho} \approx 1450\ \text{м/с}$ — она же скорость волны гидроудара.