Вязкость: внутреннее трение жидкости

Урок о том, почему мёд течёт медленнее воды и как измеряют это сопротивление течению.

Вязкость — свойство жидкости сопротивляться сдвигу слоёв друг относительно друга, то есть внутреннее трение.

Если плотность отвечает за «тяжесть» жидкости, то вязкость отвечает за её «густоту». Вода, масло и мёд имеют близкие плотности, но текут совершенно по-разному. Именно вязкость определяет, сколько энергии теряет поток в трубе и при каком расходе течение станет турбулентным.

Зачем это нужно

Все потери напора в трубопроводе порождены вязкостью: будь жидкость идеальной, насос не понадобился бы. Вязкость входит в число Рейнольдса, в формулу ламинарного сопротивления, в расчёт смазки подшипников. Без неё нельзя оценить ни мощность насоса, ни режим течения.

Закон вязкого трения Ньютона

Представим два слоя жидкости, скользящих друг по другу. Сила трения между ними тем больше, чем быстрее меняется скорость поперёк потока. Ньютон записал это так:

$$ \tau = \mu\, \frac{dv}{dy} $$

Здесь $\tau$ — касательное напряжение ($\text{Па}$), $\dfrac{dv}{dy}$ — градиент скорости поперёк потока ($\text{с}^{-1}$), а $\mu$ — динамическая вязкость ($\text{Па}\cdot\text{с}$). Жидкости, для которых $\mu$ постоянна, называют ньютоновскими: вода, воздух, большинство масел. Кровь, краски и расплавы полимеров — неньютоновские, их вязкость зависит от скорости сдвига.

Динамическая и кинематическая вязкость

Кинематическая вязкость $\nu = \dfrac{\mu}{\rho}$ — отношение динамической вязкости к плотности.

$$ \nu = \frac{\mu}{\rho} $$

Единица $\nu$ — $\text{м}^2/\text{с}$. Для воды при $20\,^\circ\text{C}$: $\mu \approx 1{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{Па}\cdot\text{с}$, $\nu \approx 1{,}0\cdot 10^{-6}\ \text{м}^2/\text{с}$. У воздуха $\mu$ почти в $55$ раз меньше, но из-за малой плотности кинематическая вязкость, наоборот, в $15$ раз больше.

Считаем силу трения в зазоре

Пластина площадью $0{,}5\ \text{м}^2$ движется по слою масла толщиной $0{,}2\ \text{мм}$ со скоростью $0{,}3\ \text{м/с}$. Масло имеет $\mu = 0{,}08\ \text{Па}\cdot\text{с}$. Профиль скорости в тонком зазоре линеен, поэтому $dv/dy \approx v/h$.

import math

mu = 0.08      # Па·с, динамическая вязкость масла
v = 0.3        # м/с, скорость пластины
h = 0.0002     # м, толщина слоя (0,2 мм)
A = 0.5        # м^2, площадь пластины

grad = v / h            # градиент скорости, 1/с
tau = mu * grad         # касательное напряжение, Па
F = tau * A             # сила трения, Н

print(round(grad, 1))
print(round(tau, 1))
print(round(F, 2))

Вывод:

1500.0
120.0
60.0

Чтобы тянуть пластину, нужно приложить $60\ \text{Н}$ — всё это уходит на преодоление вязкого трения и нагрев масла.

Как работает под капотом

Вязкость рождается из обмена импульсом между слоями. Молекулы из быстрого слоя перескакивают в медленный и подгоняют его, а медленные тормозят быстрый. В жидкостях главную роль играют силы сцепления между молекулами, поэтому при нагреве сцепление слабеет и вязкость падает — горячее масло жиже. В газах механизм обратный: переносится импульс хаотичным движением молекул, и с ростом температуры вязкость газа растёт. Эта разница в знаке зависимости — фундаментальное отличие жидкостей от газов.

Частые ошибки

Путают динамическую $\mu$ ($\text{Па}\cdot\text{с}$) и кинематическую $\nu$ ($\text{м}^2/\text{с}$) вязкость.
Считают, что вязкость воды и воздуха различаются только в $\mu$ — по $\nu$ воздух «вязче» воды.
Применяют закон Ньютона к неньютоновским средам (краска, кровь).
Забывают, что вязкость сильно зависит от температуры.

Итог

Вязкость — внутреннее трение, сопротивление сдвигу слоёв.
Закон Ньютона: $\tau = \mu\,dv/dy$, напряжение пропорционально градиенту скорости.
Кинематическая вязкость $\nu = \mu/\rho$ удобна для числа Рейнольдса.
У жидкостей вязкость падает с температурой, у газов — растёт.