Давление: сила, распределённая по площади

Урок о ключевой величине гидравлики — давлении — и о том, как его правильно считать и обозначать.

Давление $p$ — отношение силы, нормальной к поверхности, к площади этой поверхности.

Давление — это валюта гидравлики. Насос создаёт давление, труба его теряет, гидроцилиндр превращает в силу. Чтобы говорить об этом строго, начнём с определения и единиц.

Определение и единица

$$ p = \frac{F}{A} $$

где $F$ — сила в ньютонах, перпендикулярная площадке, $A$ — площадь в квадратных метрах. Единица давления в СИ — паскаль: $1\ \text{Па} = 1\ \text{Н/м}^2$. Паскаль очень мал, поэтому на практике используют килопаскали и мегапаскали, а также внесистемные бар ($1\ \text{бар} = 10^5\ \text{Па}$) и атмосферу ($1\ \text{атм} \approx 101{,}3\ \text{кПа}$).

Давление в жидкости действует по всем направлениям

Важнейшее свойство: в покоящейся жидкости давление в данной точке одинаково по всем направлениям. Это называют законом Паскаля о изотропности давления. Поэтому давление — скаляр, хотя сила, которую оно создаёт на стенке, — вектор, направленный по нормали к стенке.

Абсолютное и избыточное давление

Различают:

Абсолютное давление $p_{\text{абс}}$ — отсчитывается от полного вакуума.
Избыточное (манометрическое) давление $p_{\text{изб}}$ — отсчитывается от атмосферного.

$$ p_{\text{абс}} = p_{\text{атм}} + p_{\text{изб}} $$

Манометр показывает именно избыточное давление: при открытом кране он показывает ноль, хотя абсолютное давление равно атмосферному.

Считаем давление под гидроцилиндром

Гидроцилиндр диаметром $50\ \text{мм}$ развивает силу $12\ \text{кН}$. Какое давление в рабочей жидкости?

import math

F = 12000.0     # Н, сила на штоке
d = 0.05        # м, диаметр поршня
p_atm = 101300  # Па, атмосферное давление

A = math.pi * (d / 2) ** 2   # площадь поршня, м^2
p_izb = F / A                # избыточное давление, Па
p_abs = p_atm + p_izb        # абсолютное давление, Па

print(round(A, 6))
print(round(p_izb / 1e6, 3))   # МПа
print(round(p_abs / 1e6, 3))   # МПа

Вывод:

0.001963
6.112
6.213

Избыточное давление около $6{,}1\ \text{МПа}$ ($61\ \text{бар}$) — типичный уровень для гидравлики строительной техники.

Чем меньше площадь, тем больше давление

При одной и той же силе давление обратно пропорционально площади. Поэтому острый нож режет, а тупой мнёт; поэтому тонкая игла прокалывает кожу. В гидравлике это позволяет малой силой на узком поршне создавать большое давление, которое затем действует на широкий поршень — основа гидравлического пресса.

Как работает под капотом

На молекулярном уровне давление — это суммарный импульс, передаваемый молекулами стенке при ударах. В газе молекулы редки и быстро летают: давление создаётся частыми, но лёгкими ударами. В жидкости молекулы плотно упакованы и постоянно толкают соседей и стенку. Поэтому в жидкости давление быстро передаётся во все стороны: толкнули поршень — и весь объём почти мгновенно «узнал» об этом. Эта несжимаемость и быстрая передача давления делают гидравлику такой эффективной для передачи усилия.

Частые ошибки

Считают давление вектором — оно скаляр; вектор — это сила на стенке.
Путают абсолютное и избыточное давление, теряя слагаемое $p_{\text{атм}}$.
Берут площадь по диаметру, забыв поделить на два перед возведением в квадрат.
Смешивают бары, атмосферы и паскали в одном расчёте.

Итог

Давление $p = F/A$ измеряется в паскалях ($\text{Н/м}^2$).
В покоящейся жидкости давление одинаково по всем направлениям — это скаляр.
$p_{\text{абс}} = p_{\text{атм}} + p_{\text{изб}}$; манометр показывает избыточное.
При фиксированной силе давление растёт с уменьшением площади.