Линии тока и расход жидкости

Урок о том, как измеряют «сколько жидкости течёт» и как связаны скорость и расход.

Расход — количество жидкости, проходящее через сечение потока за единицу времени.

Когда жидкость движется, нас интересует уже не давление в точке, а движение в целом: куда и с какой скоростью течёт, сколько проходит за секунду. С этого начинается динамика потока.

Линии тока и трубка тока

Движение удобно изображать линиями тока — кривыми, касательная к которым в каждой точке совпадает с вектором скорости. В установившемся (стационарном) потоке линии тока не меняются со временем, и частицы движутся точно вдоль них. Пучок линий тока образует трубку тока — воображаемую трубу, сквозь стенки которой жидкость не протекает. Реальная труба — частный случай трубки тока.

Объёмный и массовый расход

Объёмный расход $Q$ — объём жидкости через сечение в единицу времени, $\text{м}^3/\text{с}$.

За время $t$ через сечение площадью $A$ проходит столб жидкости длиной $v t$, то есть объём $A v t$. Разделив на $t$, получаем:

$$ Q = v\, A $$

где $v$ — средняя скорость по сечению. Массовый расход — это масса в единицу времени:

$$ \dot{m} = \rho\, Q = \rho\, v\, A $$

в $\text{кг/с}$. Для несжимаемой жидкости удобнее работать с объёмным расходом, для газов и пара — с массовым.

Считаем расход в трубе

По трубе диаметром $100\ \text{мм}$ вода движется со средней скоростью $1{,}5\ \text{м/с}$. Найдём объёмный расход в $\text{м}^3/\text{с}$ и в литрах в секунду, а также массовый расход.

import math

rho = 1000.0
d = 0.1        # м
v = 1.5        # м/с

A = math.pi * (d / 2) ** 2   # площадь сечения, м^2
Q = v * A                    # объёмный расход, м^3/с
m_dot = rho * Q              # массовый расход, кг/с

print(round(A, 5))
print(round(Q, 5))
print(round(Q * 1000, 2))    # л/с
print(round(m_dot, 2))

Вывод:

Через трубу идёт почти $11{,}8\ \text{л/с}$, что соответствует массовому расходу $11{,}8\ \text{кг/с}$ (для воды числа совпадают, так как $\rho = 1000$).

Средняя скорость

Скорость по сечению трубы непостоянна: у стенок жидкость почти стоит, в центре течёт быстрее. Средняя скорость $v$ в формуле $Q = vA$ — это такая равномерная скорость, которая дала бы тот же расход. На практике именно её и используют в инженерных расчётах, а распределение скоростей учитывают отдельно через коэффициенты.

Как работает под капотом

Формула $Q = vA$ — это просто учёт объёма. Представьте, что поток «нарезан» на тонкие диски толщиной $v\,dt$. За время $dt$ через сечение проходит один такой диск объёмом $A v\, dt$. Сложив диски за секунду, получаем расход. Если скорость по сечению меняется, строгий расход — это интеграл $\int v\, dA$ по площади, а средняя скорость определяется как $v = Q/A$. В установившемся потоке расход одинаков во всех сечениях трубки тока — это мы докажем в следующем уроке через неразрывность.

Частые ошибки

Считают площадь по диаметру без деления на два перед квадратом.
Путают объёмный ($\text{м}^3/\text{с}$) и массовый ($\text{кг/с}$) расход.
Берут максимальную скорость в центре вместо средней по сечению.
Забывают перевести литры в кубометры ($1\ \text{л} = 10^{-3}\ \text{м}^3$).

Итог

Линии тока показывают направление скорости; трубка тока — пучок таких линий.
Объёмный расход $Q = vA$ измеряется в $\text{м}^3/\text{с}$.
Массовый расход $\dot m = \rho Q$ в $\text{кг/с}$ удобен для газов.
Средняя скорость $v = Q/A$ заменяет неравномерный профиль эквивалентным.