Уравнение неразрывности

Урок о том, почему вода из узкого носика бьёт сильнее — закон сохранения массы в потоке.

Уравнение неразрывности: в установившемся потоке несжимаемой жидкости объёмный расход одинаков во всех сечениях.

Жидкость не возникает и не исчезает в трубе. Сколько втекло, столько и вытекло. Из этого очевидного факта следует мощное правило, связывающее скорость и сечение.

Закон сохранения массы для потока

Рассмотрим участок трубы между двумя сечениями. В установившемся режиме масса внутри участка не меняется, значит массовый расход на входе равен массовому расходу на выходе:

$$ \rho_1 v_1 A_1 = \rho_2 v_2 A_2 $$

Для несжимаемой жидкости плотность одинакова ($\rho_1 = \rho_2$), и она сокращается:

$$ v_1 A_1 = v_2 A_2 = Q = \text{const} $$

Это и есть уравнение неразрывности. Расход постоянен, поэтому где сечение уже — там скорость выше, и наоборот.

Обратная связь скорости и площади

$$ \frac{v_2}{v_1} = \frac{A_1}{A_2} $$

Если труба сужается вдвое по площади, скорость удваивается. А поскольку площадь круга $\propto d^2$, сужение диаметра в $2$ раза увеличивает скорость в $4$ раза. Поэтому из узкого сопла струя вылетает гораздо быстрее.

Считаем скорость в сужении

Труба сужается с диаметра $150\ \text{мм}$ до $75\ \text{мм}$. В широкой части вода течёт со скоростью $1{,}2\ \text{м/с}$. Найдём скорость в узкой части и общий расход.

import math

d1 = 0.15      # м
d2 = 0.075     # м
v1 = 1.2       # м/с

A1 = math.pi * (d1 / 2) ** 2
A2 = math.pi * (d2 / 2) ** 2

v2 = v1 * A1 / A2          # из неразрывности
Q = v1 * A1                # расход, м^3/с

print(round(A1, 5))
print(round(A2, 5))
print(round(v2, 3))
print(round(Q * 1000, 2))   # л/с

Вывод:

Диаметр уменьшился вдвое, площадь — вчетверо, и скорость выросла ровно в $4$ раза: с $1{,}2$ до $4{,}8\ \text{м/с}$. Расход при этом неизменен — $21{,}2\ \text{л/с}$ в обоих сечениях.

Разветвления

В узле, где труба ветвится, расход сохраняется суммарно: что втекло, то и распределилось по ветвям. Это аналог первого закона Кирхгофа для жидкости:

$$ Q_{\text{вх}} = \sum Q_{\text{вых}} $$

На этом строят расчёт водопроводных сетей.

Как работает под капотом

Неразрывность — это бухгалтерия массы. За время $dt$ в участок втекает масса $\rho_1 v_1 A_1\, dt$, а вытекает $\rho_2 v_2 A_2\, dt$. Если внутри ничего не накапливается (установившийся режим) и жидкость несжимаема, эти массы равны, и плотности сокращаются. Для сжимаемого газа плотность в формуле остаётся — там при разгоне в сопле меняются и скорость, и плотность одновременно. Именно неразрывность объясняет, почему струя воды из крана сужается, падая вниз: разгоняясь под силой тяжести, она вынуждена сжиматься, чтобы сохранить расход.

Частые ошибки

Думают, что в узкой части течёт «меньше воды» — расход тот же, выше лишь скорость.
Берут отношение диаметров вместо отношения площадей для скоростей.
Применяют упрощённое $v_1A_1=v_2A_2$ к сильно сжимаемому газу.
Забывают, что закон верен лишь для установившегося режима.

Итог

Уравнение неразрывности: $\rho_1 v_1 A_1 = \rho_2 v_2 A_2$, для несжимаемой — $v_1 A_1 = v_2 A_2$.
Расход постоянен по длине трубки тока.
Скорость обратно пропорциональна площади: уже сечение — выше скорость.
В разветвлении входной расход равен сумме выходных.