Установившееся течение и ускорение частицы

Урок о том, может ли частица ускоряться даже в потоке, где всё со временем неизменно.

Установившееся (стационарное) течение — течение, при котором в каждой точке пространства скорость и давление не меняются со временем.

Кажется парадоксом: если в трубе ничего не меняется во времени, откуда взяться ускорению? Но частица, плывущая по сужающейся трубе, явно разгоняется. Разберёмся, как это возможно и как считать ускорение в потоке.

Два взгляда на движение

Есть два способа описывать жидкость. Подход Эйлера фиксирует точки пространства и наблюдает, что в них происходит: какова скорость в данной точке трубы. Подход Лагранжа следит за конкретной частицей, как за меченым поплавком. В установившемся течении эйлеровская картина застывшая — поле скоростей не зависит от времени. Но отдельная частица, перемещаясь из точки в точку, всё равно меняет скорость.

Локальное и конвективное ускорение

Полное ускорение частицы складывается из двух частей. Для одномерного потока вдоль оси $x$ со скоростью $v(x, t)$:

$$ a = \frac{\partial v}{\partial t} + v\,\frac{\partial v}{\partial x} $$

$\dfrac{\partial v}{\partial t}$ — локальное ускорение: как меняется скорость в данной точке со временем. В установившемся течении оно равно нулю.
$v\,\dfrac{\partial v}{\partial x}$ — конвективное ускорение: частица переносится в область с другой скоростью. Именно оно разгоняет жидкость в сужении.

Поэтому в установившемся, но неоднородном потоке ускорение есть — всё конвективное.

Считаем ускорение в сужающейся трубе

Труба сужается линейно, и скорость вдоль оси растёт по закону $v(x) = 2 + 8x$ (м/с, $x$ в метрах). Найдём ускорение частицы в точке $x = 0{,}5\ \text{м}$ — аналитически и численно.

import math

def v(x):
    return 2 + 8 * x        # м/с, поле скоростей (установившееся)

x = 0.5
# конвективное ускорение a = v * dv/dx; dv/dx = 8
dvdx_analytic = 8.0
a_analytic = v(x) * dvdx_analytic

# численная проверка производной
dx = 1e-6
dvdx_num = (v(x + dx) - v(x - dx)) / (2 * dx)
a_num = v(x) * dvdx_num

print(round(v(x), 3))
print(round(a_analytic, 3))
print(round(a_num, 3))

Вывод:

6.0
48.0
48.0

В точке $x = 0{,}5\ \text{м}$ скорость частицы $6\ \text{м/с}$, а её ускорение — $48\ \text{м/с}^2$, почти пять $g$. И это при том, что поле скоростей со временем не меняется: всё ускорение конвективное. Численная производная совпала с аналитической.

Равномерное и неравномерное течение

Помимо деления на установившееся и нет, различают равномерное течение (скорость одинакова вдоль потока, $\partial v/\partial x = 0$, как в длинной прямой трубе постоянного сечения) и неравномерное (сечение или скорость меняются по длине). В равномерном течении конвективного ускорения нет, в неравномерном — есть.

Как работает под капотом

Конвективное ускорение — следствие того, что мы следим за движущейся частицей, а не за точкой пространства. Математически это полная (субстанциональная) производная: чтобы узнать, как меняется величина для частицы, нужно учесть и явную зависимость от времени, и то, что частица за время $dt$ сместилась в новую точку, где значение поля другое. Именно конвективный член делает уравнения движения жидкости (Навье-Стокса) нелинейными — и именно эта нелинейность порождает всю сложность турбулентности. Уравнение Бернулли, по сути, интегрирует это ускорение вдоль линии тока для установившегося течения.

Частые ошибки

Считают, что в установившемся течении ускорение всегда ноль — забывают конвективный член.
Путают установившееся (нет зависимости от $t$) и равномерное (нет зависимости от $x$) течения.
Берут только локальную производную $\partial v/\partial t$ как полное ускорение.
Думают, что эйлеров и лагранжев подходы дают разную физику — они эквивалентны.

Итог

Установившееся течение: поле скоростей не зависит от времени.
Полное ускорение $a = \partial v/\partial t + v\,\partial v/\partial x$.
Локальное ускорение исчезает в стационарном потоке, конвективное — нет.
Частица разгоняется в сужении именно за счёт конвективного ускорения.