Уравнение Бернулли: энергия потока
Урок о законе сохранения энергии для движущейся жидкости — фундаменте всей гидродинамики.
Уравнение Бернулли: вдоль линии тока идеальной несжимаемой жидкости сумма давления, кинетической и потенциальной энергии единицы объёма постоянна.
Если неразрывность — это сохранение массы, то Бернулли — это сохранение энергии. Оно объясняет, как давление превращается в скорость и обратно, и лежит в основе расходомеров, насосов и крыла самолёта.
Три слагаемых энергии
$$ p + \frac{\rho v^2}{2} + \rho g h = \text{const} $$
Каждое слагаемое — это энергия единицы объёма ($\text{Дж/м}^3 = \text{Па}$):
- $p$ — давление, энергия сил давления;
- $\dfrac{\rho v^2}{2}$ — кинетическая энергия (динамическое давление);
- $\rho g h$ — потенциальная энергия положения.
Сумма постоянна вдоль линии тока: разгоняясь, поток теряет давление; поднимаясь, теряет и давление, и скорость.
Форма через напор
Разделив всё на $\rho g$, получаем уравнение в метрах — в форме напоров:
$$ \frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2 g} + h = H = \text{const} $$
Здесь $\dfrac{p}{\rho g}$ — пьезометрический напор, $\dfrac{v^2}{2g}$ — скоростной напор, $h$ — геометрический напор, а $H$ — полный напор. В идеальной жидкости полный напор постоянен; в реальной он убывает на потери.
Проверяем сохранение энергии
Вода течёт по наклонной трубе. В точке 1: $p_1 = 200\ \text{кПа}$, $v_1 = 2\ \text{м/с}$, $h_1 = 5\ \text{м}$. В точке 2 труба сужается, скорость $v_2 = 6\ \text{м/с}$, высота $h_2 = 2\ \text{м}$. Найдём давление $p_2$ из Бернулли.
import math
rho = 1000.0
g = 9.81
p1 = 200000.0
v1, h1 = 2.0, 5.0
v2, h2 = 6.0, 2.0
# p1 + rho*v1^2/2 + rho*g*h1 = p2 + rho*v2^2/2 + rho*g*h2
p2 = p1 + rho * (v1**2 - v2**2) / 2 + rho * g * (h1 - h2)
# проверим полную энергию в обеих точках
E1 = p1 + rho * v1**2 / 2 + rho * g * h1
E2 = p2 + rho * v2**2 / 2 + rho * g * h2
print(round(p2 / 1000, 2)) # кПа
print(round(E1, 1))
print(round(E2, 1))Вывод:
213.43 251050.0 251050.0
Давление в точке 2 оказалось даже выше ($213\ \text{кПа}$): хотя поток разогнался и потерял часть давления на скорость, спуск на $3\ \text{м}$ добавил больше. Полная энергия единицы объёма в обеих точках совпала ($251050\ \text{Па}$) — закон выполняется.
Условия применимости
Уравнение в чистом виде верно для идеальной (невязкой) несжимаемой жидкости в установившемся потоке вдоль одной линии тока. Для реальной жидкости в правую часть добавляют потери напора $h_f$ — об этом будут отдельные разделы.
Как работает под капотом
Уравнение Бернулли выводится из второго закона Ньютона, применённого к частице жидкости вдоль линии тока, либо из теоремы об изменении кинетической энергии. Работа сил давления и тяжести идёт на изменение кинетической энергии частицы. Если трения нет, энергия не рассеивается, и сумма трёх слагаемых сохраняется. Самое контринтуитивное следствие: там, где жидкость течёт быстрее, давление ниже. Именно поэтому над выпуклой верхней поверхностью крыла, где поток ускоряется, давление падает, создавая подъёмную силу.
Частые ошибки
- Применяют уравнение между точками на разных линиях тока без оснований.
- Забывают слагаемое $\rho g h$ при заметной разнице высот.
- Игнорируют потери $h_f$ в длинных или вязких потоках.
- Думают, что высокое давление всегда означает высокую скорость, — наоборот.
Итог
- Бернулли: $p + \rho v^2/2 + \rho g h = \text{const}$ — сохранение энергии потока.
- Три формы энергии: давление, кинетическая, потенциальная.
- В форме напоров: пьезометрический + скоростной + геометрический = полный напор.
- Быстрее поток — ниже давление; это и есть суть многих эффектов.