Истечение из отверстия: формула Торричелли

Урок о том, с какой скоростью вытекает вода из отверстия в баке и как быстро бак опустеет.

Формула Торричелли: скорость истечения жидкости из малого отверстия равна скорости свободного падения с высоты столба над отверстием.

Пробитый бак, водослив, форсунка, спускной кран — везде жидкость вытекает под действием собственного веса. Скорость этого истечения дал ещё ученик Галилея — Торричелли.

Вывод из Бернулли

Запишем Бернулли для линии тока от свободной поверхности (точка 1, скорость почти нулевая, давление атмосферное, высота $h$ над отверстием) до струи в отверстии (точка 2, давление тоже атмосферное, высота $0$):

$$ \rho g h = \frac{\rho v^2}{2} \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2 g h} $$

Удивительно: скорость не зависит от плотности жидкости — что вода, что ртуть вытекают с одинаковой скоростью с одной высоты. Это та же скорость, какую набрало бы тело, свободно упав с высоты $h$.

Реальные коэффициенты

Идеальная формула завышает результат: вязкость и сжатие струи снижают скорость и расход. Вводят коэффициент скорости $\varphi \approx 0{,}97$ и коэффициент расхода $\mu \approx 0{,}62$ (для острой кромки):

$$ v = \varphi\sqrt{2 g h}, \qquad Q = \mu\, A\,\sqrt{2 g h} $$

Коэффициент расхода меньше коэффициента скорости, потому что струя сужается за отверстием (сжатие струи), и её фактическое сечение меньше площади отверстия.

Считаем истечение и время опорожнения

В баке вода на высоте $2\ \text{м}$ над отверстием диаметром $20\ \text{мм}$. Найдём идеальную скорость, реальный расход и оценим время опорожнения бака площадью $1\ \text{м}^2$ методом малых шагов.

import math

g = 9.81
h0 = 2.0          # начальная высота, м
d = 0.02          # диаметр отверстия, м
mu = 0.62         # коэффициент расхода
A_tank = 1.0      # площадь бака в плане, м^2

A = math.pi * (d / 2) ** 2
v0 = math.sqrt(2 * g * h0)        # идеальная скорость, м/с
Q0 = mu * A * v0                  # начальный реальный расход

# численное опорожнение малыми шагами по времени
h = h0
t = 0.0
dt = 0.5
while h > 0.001:
    Q = mu * A * math.sqrt(2 * g * h)
    h -= Q * dt / A_tank
    t += dt

print(round(v0, 3))
print(round(Q0 * 1000, 3))    # л/с
print(round(t, 1))            # с

Вывод:

6.264
1.22
3204.5

Струя вылетает со скоростью $\approx 6{,}3\ \text{м/с}$, реальный начальный расход около $1{,}2\ \text{л/с}$. Бак опорожняется примерно за $3205\ \text{с}$ (около $53\ \text{минут}$): по мере падения уровня скорость истечения уменьшается как $\sqrt h$, поэтому процесс заметно замедляется к концу.

Как работает под капотом

Энергия столба жидкости над отверстием — потенциальная — целиком переходит в кинетическую энергию струи. Поскольку и масса в числителе кинетической, и масса в потенциальной энергии одна и та же, плотность сокращается — отсюда независимость скорости от рода жидкости. Сжатие струи возникает оттого, что жидкость подходит к отверстию со всех сторон, и линии тока не могут резко повернуть на $90^\circ$ — струя «поджимается» до сечения примерно $0{,}64$ от площади отверстия. Это сжатие и даёт коэффициент расхода около $0{,}62$.

Частые ошибки

Считают, что тяжёлая жидкость вытекает быстрее лёгкой — скорость от плотности не зависит.
Используют идеальную формулу без коэффициентов для точных расчётов расхода.
Берут постоянный расход при опорожнении — он падает с уровнем как $\sqrt h$.
Путают коэффициент скорости $\varphi$ и коэффициент расхода $\mu$.

Итог

Формула Торричелли: $v = \sqrt{2gh}$ — как при свободном падении.
Скорость истечения не зависит от плотности жидкости.
Реальный расход $Q = \mu A\sqrt{2gh}$ с коэффициентом $\mu \approx 0{,}62$.
При опорожнении расход падает с уровнем, поэтому процесс замедляется.