Число Рейнольдса: ламинарное и турбулентное течение

Урок о безразмерном числе, которое одним значением говорит, каким будет течение.

Число Рейнольдса $Re$ — безразмерное отношение сил инерции к силам вязкости в потоке.

Дым от сигареты сначала поднимается ровной струйкой, а потом распадается на завихрения. Вода в тонком капилляре течёт слоями, а в широкой реке бурлит. Что определяет переход? Одно число.

Два режима течения

Различают:

• Ламинарное течение — жидкость движется параллельными слоями, не перемешиваясь. Линии тока гладкие, потери малы.
• Турбулентное течение — слои перемешиваются, возникают вихри и пульсации. Сопротивление резко растёт.

Опыт Рейнольдса (1883) с подкрашенной струйкой в стеклянной трубе показал: режим определяется комбинацией скорости, размера и свойств жидкости.

Формула числа Рейнольдса

$$ Re = \frac{\rho v d}{\mu} = \frac{v d}{\nu} $$

где $v$ — средняя скорость, $d$ — характерный размер (для трубы — диаметр), $\rho$ и $\mu$ — плотность и динамическая вязкость, $\nu = \mu/\rho$ — кинематическая вязкость. В числителе — мера инерции (стремление частиц лететь по прямой), в знаменателе — мера вязкого сглаживания. Когда инерция побеждает вязкость, поток срывается в турбулентность.

Критическое значение

Для течения в круглой трубе принято:

$$\begin{cases} Re \lt 2300 & \text{ламинарное} \\ 2300 \le Re \le 4000 & \text{переходное} \\ Re \gt 4000 & \text{турбулентное} \end{cases}$$

Критическое значение около $2300$ — ориентир, а не жёсткая граница: гладкая труба и отсутствие возмущений могут сохранить ламинарность и при больших $Re$.

Считаем режим течения

Сравним два случая: вода ($\nu = 1{,}0\cdot 10^{-6}\ \text{м}^2/\text{с}$) и масло ($\nu = 1{,}0\cdot 10^{-4}\ \text{м}^2/\text{с}$) в трубе $d = 25\ \text{мм}$ при скорости $1\ \text{м/с}$.

import math

d = 0.025      # м
v = 1.0        # м/с

nu_water = 1.0e-6
nu_oil = 1.0e-4

def regime(Re):
    if Re < 2300:
        return "laminar"
    elif Re <= 4000:
        return "transition"
    return "turbulent"

Re_w = v * d / nu_water
Re_o = v * d / nu_oil

print(round(Re_w, 0), regime(Re_w))
print(round(Re_o, 0), regime(Re_o))

Вывод:

25000.0 turbulent
250.0 laminar

При одинаковой скорости и трубе вода течёт турбулентно ($Re = 25000$), а вязкое масло — спокойно, ламинарно ($Re = 250$). Вязкость масла в $100$ раз больше — и режим противоположный.

Как работает под капотом

Число Рейнольдса возникает при обезразмеривании уравнений движения вязкой жидкости (уравнений Навье-Стокса). Оно показывает, какое слагаемое доминирует: инерционное или вязкое. При малом $Re$ вязкость гасит любые возмущения, и поток остаётся ламинарным. При большом $Re$ инерция усиливает случайные завихрения быстрее, чем вязкость успевает их сгладить, — рождается турбулентность. Замечательно, что два совершенно разных потока (вода в трубе и воздух у крыла) с одинаковым $Re$ ведут себя подобно. На этом подобии держится продувка моделей в аэродинамических трубах.

Частые ошибки

• Подставляют диаметр в миллиметрах вместо метров — $Re$ выходит в $1000$ раз меньше.
• Путают динамическую $\mu$ и кинематическую $\nu$ вязкость в формуле.
• Считают $2300$ жёсткой границей, а не ориентиром переходной зоны.
• Берут максимальную скорость в центре вместо средней по сечению.

Итог

• Число Рейнольдса $Re = \rho v d/\mu = vd/\nu$ — отношение инерции к вязкости.
• Для трубы: $Re \lt 2300$ — ламинарно, $\gt 4000$ — турбулентно.
• Высокая вязкость снижает $Re$ и удерживает ламинарный режим.
• Одинаковое $Re$ означает подобие потоков — основа моделирования.