Профиль скорости в трубе

Урок о том, как распределена скорость по сечению трубы и почему в центре она вдвое выше средней.

Профиль скорости — распределение скорости течения по сечению трубы от стенки к оси.

Жидкость у стенки прилипает и стоит, а в центре течёт быстрее всего. Форма этого профиля зависит от режима и определяет, как связаны средняя и максимальная скорости и каковы потери.

Условие прилипания

На стенке скорость жидкости равна нулю — это фундаментальный факт вязкого течения (условие прилипания). От стенки к центру скорость нарастает. В ламинарном режиме нарастание плавное и описывается параболой; в турбулентном профиль более плоский — вихри перемешивают жидкость и выравнивают скорость по большей части сечения.

Ламинарный параболический профиль

Для ламинарного течения в круглой трубе радиуса $R$ скорость на расстоянии $r$ от оси:

$$ v(r) = v_{\max}\left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right) $$

Это парабола: максимум на оси, ноль у стенки. Средняя скорость по сечению оказывается ровно вдвое меньше максимальной:

$$ v_{\text{ср}} = \frac{v_{\max}}{2} $$

Закон Пуазейля

Связь расхода с перепадом давления в ламинарной трубе даёт формула Пуазейля:

$$ Q = \frac{\pi R^4\, \Delta p}{8\, \mu\, L} $$

Поразительна зависимость от радиуса в четвёртой степени: сужение трубы вдвое уменьшает расход в $16$ раз. Поэтому даже небольшое сужение сосуда резко ограничивает кровоток.

Проверяем отношение скоростей численно

Усредним параболический профиль по сечению численно и убедимся, что средняя скорость вдвое меньше максимальной.

import math

R = 0.05         # радиус трубы, м
vmax = 2.0       # скорость на оси, м/с

# усредняем v(r) по площади: интеграл v*2*pi*r dr / (pi R^2)
N = 100000
dr = R / N
num = 0.0
for i in range(N):
    r = (i + 0.5) * dr
    v = vmax * (1 - (r / R) ** 2)
    num += v * 2 * math.pi * r * dr

v_avg = num / (math.pi * R ** 2)

print(round(v_avg, 4))
print(round(v_avg / vmax, 4))

Вывод:

1.0
0.5

Численное усреднение параболы дало среднюю скорость $1{,}0\ \text{м/с}$ — ровно половину максимальной $2{,}0\ \text{м/с}$. Теория подтверждена расчётом.

Турбулентный профиль

В турбулентном течении профиль гораздо более плоский: основная часть сечения движется почти с одинаковой скоростью, а резкое падение происходит лишь в тонком пристеночном слое. Отношение средней к максимальной скорости здесь около $0{,}8$ вместо $0{,}5$. Зато потери на трение растут — об этом следующий раздел.

Как работает под капотом

Параболический профиль возникает из баланса двух сил: перепад давления толкает жидкость вперёд, а вязкое трение между слоями тормозит. В стационарном ламинарном течении эти силы уравновешены в каждом слое, и решение уравнения движения даёт именно параболу. Зависимость $R^4$ в законе Пуазейля складывается из двух эффектов: площадь сечения растёт как $R^2$, и средняя скорость при том же перепаде давления тоже растёт как $R^2$, потому что центр потока дальше от тормозящей стенки. Их произведение и даёт четвёртую степень.

Частые ошибки

• Считают скорость у стенки ненулевой — она всегда ноль (прилипание).
• Применяют отношение $v_{\text{ср}} = v_{\max}/2$ к турбулентному режиму (там $\approx 0{,}8$).
• Недооценивают чувствительность расхода к радиусу (закон $R^4$).
• Путают радиус и диаметр в формуле Пуазейля.

Итог

• На стенке скорость нулевая (условие прилипания), максимум — на оси.
• Ламинарный профиль — парабола: $v(r) = v_{\max}(1 - r^2/R^2)$.
• В ламинарном режиме $v_{\text{ср}} = v_{\max}/2$, в турбулентном $\approx 0{,}8\,v_{\max}$.
• Закон Пуазейля: расход $\propto R^4$ — крайне чувствителен к диаметру.