Переходные процессы в RL-цепи

Урок описывает, как нарастает и спадает ток в цепи с катушкой и резистором.

Постоянная времени RL-цепи $\tau = L/R$ — характерное время изменения тока в $e$ раз при включении или выключении.

RL-цепь — двойник RC-цепи, но «медлит» не напряжение на конденсаторе, а ток через катушку. Понимание этого важно для реле, дросселей и импульсных преобразователей.

Нарастание тока

При подключении к источнику $U_0$ ток через катушку нарастает по экспоненте:

$$ I(t) = \frac{U_0}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac{L}{R}. $$

Установившийся ток $I_\infty = U_0/R$ — катушка ведёт себя как обычный провод, когда ток перестаёт меняться. При отключении ток спадает: $I(t) = I_0\, e^{-t/\tau}$.

Симуляция нарастания тока

import math

U0 = 10.0
R = 5.0       # Ом
L = 0.5       # Гн
tau = L / R
dt = 0.005
I = 0.0
t = 0.0
I_inf = U0 / R

print(f"tau = {tau:.3f} с, I_inf = {I_inf} А")
for step in range(1, 101):
    I += (U0 - I*R) / L * dt   # dI/dt = (U0 - IR)/L
    t += dt
    if step in (20, 60, 100):
        exact = I_inf * (1 - math.exp(-t/tau))
        print(f"t={t:.2f}с  числ={I:.4f}А  точно={exact:.4f}А")

Вывод:

tau = 0.100 с, I_inf = 2.0 А
t=0.10с  числ=1.2830А  точно=1.2642А
t=0.30с  числ=1.9079А  точно=1.9004А
t=0.50с  числ=1.9882А  точно=1.9865А

Как работает под капотом

В первый момент после включения катушка изо всех сил противится появлению тока: наведённая ЭДС самоиндукции почти полностью компенсирует напряжение источника, поэтому ток нарастает медленно. По мере роста тока его скорость изменения падает, ЭДС самоиндукции слабеет, и всё большая часть напряжения источника идёт на «проталкивание» тока через резистор. В пределе ток достигает $U_0/R$, ЭДС самоиндукции обращается в нуль, катушка становится «прозрачной». Заметьте симметрию: в RC-цепи скачком не может измениться напряжение на конденсаторе, а в RL-цепи — ток через катушку. Это два проявления одного принципа: реактивный элемент сглаживает изменение запасённой в нём величины.

Частые ошибки

• Считают $\tau = RL$ или $\tau = R/L$. Правильно $\tau = L/R$.
• Думают, что ток нарастает мгновенно. Он растёт экспоненциально из-за самоиндукции.
• Забывают про опасный всплеск напряжения при резком размыкании RL-цепи.

Итог

• Нарастание тока: $I = (U_0/R)(1 - e^{-t/\tau})$, $\tau = L/R$.
• Установившийся ток $I_\infty = U_0/R$.
• Спад тока: $I = I_0\,e^{-t/\tau}$.
• Ток через катушку непрерывен, как напряжение на конденсаторе.