Переходные процессы в RC-цепи

Урок описывает, как конденсатор заряжается и разряжается через резистор, и вводит постоянную времени.

Постоянная времени $\tau = RC$ — характерное время, за которое напряжение на конденсаторе меняется в $e$ раз при заряде или разряде.

RC-цепь — основа таймеров, сглаживающих фильтров и формирователей импульсов. Понять её переходный процесс — значит понять, как «течёт» время в электронике.

Закон зарядки

Напряжение на конденсаторе при зарядке от источника $U_0$ через резистор $R$ растёт по экспоненте:

$$ U_C(t) = U_0 \left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = RC. $$

За время $\tau$ конденсатор зарядится на 63%, за $3\tau$ — на 95%, за $5\tau$ — практически полностью (99,3%). При разрядке наоборот: $U_C(t) = U_0\, e^{-t/\tau}$.

Численная симуляция методом Эйлера

Дифференциальное уравнение зарядки $\frac{dU_C}{dt} = \frac{U_0 - U_C}{RC}$ можно решить шаг за шагом и сравнить с точной формулой.

import math

U0 = 5.0
R = 1000.0     # Ом
C = 100e-6     # Ф
tau = R * C
dt = 0.001
Uc = 0.0
t = 0.0

print(f"tau = {tau:.3f} с")
for step in range(1, 501):
    Uc += (U0 - Uc) / tau * dt   # метод Эйлера
    t += dt
    if step in (100, 300, 500):
        exact = U0 * (1 - math.exp(-t/tau))
        print(f"t={t:.2f}с  числ={Uc:.4f}В  точно={exact:.4f}В")

Вывод:

tau = 0.100 с
t=0.10с  числ=3.1698В  точно=3.1606В
t=0.30с  числ=4.7548В  точно=4.7511В
t=0.50с  числ=4.9671В  точно=4.9663В

Как работает под капотом

В начале зарядки конденсатор пуст, всё напряжение источника падает на резисторе, и ток максимален — заряд накапливается быстро. По мере роста $U_C$ разность $U_0 - U_C$ уменьшается, ток слабеет, и зарядка замедляется. Эта «отрицательная обратная связь» и порождает экспоненту: скорость изменения пропорциональна тому, сколько ещё осталось до цели. Метод Эйлера в коде имитирует ровно эту логику — на каждом шаге мы прибавляем маленький приращённый заряд, пропорциональный текущему «недозаряду». Чем меньше шаг $dt$, тем точнее численное решение сходится к аналитической экспоненте.

Частые ошибки

Считают, что конденсатор заряжается линейно. Зарядка экспоненциальна и замедляется со временем.
Берут $\tau$ в неверных единицах: $R$ в омах, $C$ в фарадах дают $\tau$ в секундах.
Думают, что за $\tau$ конденсатор заряжается полностью. На самом деле лишь на 63%.

Итог

Зарядка: $U_C = U_0(1 - e^{-t/\tau})$, $\tau = RC$.
Разрядка: $U_C = U_0\,e^{-t/\tau}$.
За $\tau$ — 63%, за $5\tau$ — практически полностью.
Процесс описывается экспонентой из-за обратной связи.