Закон Стефана-Больцмана: светимость

Светимость звезды зависит от двух чисел — её размера и температуры. Закон Стефана-Больцмана связывает их.

Закон Стефана-Больцмана: $L = 4\pi R^2 \sigma T^4$, где $L$ — светимость (Вт), $R$ — радиус, $T$ — температура поверхности, $\sigma = 5.670 \times 10^{-8}\,\text{Вт}\,\text{м}^{-2}\,\text{К}^{-4}$.

Откуда берётся светимость

Каждый квадратный метр поверхности чёрного тела излучает мощность $\sigma T^4$. Чтобы получить полную светимость, умножаем на площадь поверхности звезды $4\pi R^2$. Главное здесь — четвёртая степень температуры: если нагреть звезду вдвое, она станет излучать в $2^4 = 16$ раз ярче с того же квадратного метра. Поэтому температура влияет на светимость гораздо сильнее, чем размер.

import math

def luminosity(R_m, T_kelvin):
    """Светимость (Вт) по радиусу (м) и температуре (К)."""
    sigma = 5.670374419e-8
    return 4 * math.pi * R_m**2 * sigma * T_kelvin**4

R_sun = 6.957e8   # радиус Солнца, м
T_sun = 5778      # температура Солнца, К
L_sun = luminosity(R_sun, T_sun)
print("Светимость Солнца:", "{:.3e}".format(L_sun), "Вт")

# Красный гигант: радиус в 100 раз больше, температура 3500 K
L_giant = luminosity(100 * R_sun, 3500)
print("Гигант / Солнце:", round(L_giant / L_sun, 1), "раз ярче")

Вывод:

Светимость Солнца: 3.844e+26 Вт
Гигант / Солнце: 1346.4 раз ярче

Как работает под капотом

Красный гигант холоднее Солнца ($3500$ против $5778$ К), и сам по себе его квадратный метр излучает в $(3500/5778)^4 \approx 0.135$ раза меньше. Но его поверхность в $100^2 = 10000$ раз больше! Итог: $10000 \times 0.135 \approx 1346$ — гигант ярче Солнца более чем в тысячу раз, несмотря на низкую температуру. Это объясняет, почему огромные холодные звёзды (Бетельгейзе, Антарес) так ярки. Удобный учебный вид формулы в солнечных единицах: $\dfrac{L}{L_\odot} = \left(\dfrac{R}{R_\odot}\right)^2 \left(\dfrac{T}{T_\odot}\right)^4$.

Связь с другими законами

Закон Стефана-Больцмана — тоже следствие формулы Планка: если проинтегрировать спектр чёрного тела по всем длинам волн, получится плотность потока $\sigma T^4$. Вместе с законом Вина (где пикует спектр) они полностью описывают тепловое излучение звезды по одному числу — температуре. А зная светимость и видимый поток, можно найти расстояние — так физика звёзд снова смыкается с измерением расстояний.

Частые ошибки

• Забыть, что температура в четвёртой степени — её влияние огромно.
• Использовать радиус в солнечных единицах вместе с $\sigma$ в СИ — нужно либо всё в СИ, либо всё в солнечных единицах.
• Путать светимость (полная мощность, Вт) и видимую яркость (поток у наблюдателя).

Итог

• Светимость $L = 4\pi R^2 \sigma T^4$: зависит от площади и от температуры в 4-й степени.
• Большие холодные гиганты ярки за счёт огромной поверхности.
• Вина и Стефана-Больцмана вместе описывают тепловое излучение по одной температуре.