Формула Погсона

Звёздная величина — древняя, перевёрнутая и логарифмическая шкала яркости; разберёмся, как с ней работать.

Формула Погсона: $m_1 - m_2 = -2.5\log_{10}\left(\dfrac{F_1}{F_2}\right)$, где $m$ — звёздные величины, $F$ — потоки света.

Странная шкала из древности

Ещё Гиппарх делил звёзды на шесть «величин»: самые яркие — первой величины, едва видимые — шестой. Шкала перевёрнута: чем меньше величина, тем ярче объект. У самых ярких объектов величина даже отрицательна (Сириус $-1.46$, Солнце $-26.7$). В XIX веке Погсон уточнил шкалу, заметив, что разница в $5$ величин соответствует ровно $100$-кратной разнице в яркости. Отсюда коэффициент $-2.5$: ведь $100^{1/5} \approx 2.512$.

import math

def mag_difference(flux1, flux2):
    """Разность величин по отношению потоков (формула Погсона)."""
    return -2.5 * math.log10(flux1 / flux2)

# Объект в 100 раз ярче -> на сколько меньше его величина?
print("100x ярче:", mag_difference(100, 1), "величины")
# Объект в 2.512 раза ярче
print("2.512x ярче:", round(mag_difference(2.512, 1), 2), "величины")
# Сколько раз ярче объект, который ярче на 1 величину?
ratio = 10 ** (1 / 2.5)
print("Разница в 1 величину =", round(ratio, 3), "раза по яркости")

Вывод:

100x ярче: -5.0 величины
2.512x ярче: -1.0 величины
Разница в 1 величину = 2.512 раза по яркости

Как работает под капотом

Логарифмическая шкала не случайна: человеческий глаз воспринимает яркость примерно логарифмически (закон Вебера-Фехнера). Разница в восприятии между звёздами 1-й и 2-й величины кажется такой же, как между 5-й и 6-й, хотя в потоках это совсем разные числа. Поэтому древняя «на глаз» шкала Гиппарха оказалась почти логарифмической, и Погсону осталось лишь зафиксировать коэффициент. Обратный переход — от разности величин к отношению яркостей — даёт $F_1/F_2 = 10^{-0.4(m_1 - m_2)}$.

Сложение яркостей

Если два источника видны вместе (например, двойная звезда), складываются их потоки, а не величины. Поток через величину: $F \propto 10^{-0.4 m}$. Сложив потоки, переводим обратно в величину.

Частые ошибки

Думать, что большая величина = ярче. Наоборот: меньше величина — ярче.
Складывать величины напрямую — нужно складывать потоки.
Забывать знак минус в формуле — он и делает шкалу перевёрнутой.

Итог

Звёздная величина — логарифмическая и перевёрнутая шкала: меньше = ярче.
Разница в $5$ величин = $100$ раз по яркости; в $1$ величину = $\approx 2.512$ раза.
Яркости (потоки) складываются, величины — нет.