Три закона Кеплера

Кеплер вывел три закона движения планет из наблюдений Тихо Браге — задолго до Ньютона.

Третий закон Кеплера: $T^2 \propto a^3$ — квадрат периода обращения пропорционален кубу большой полуоси орбиты.

Три закона одним списком

Иоганн Кеплер сформулировал три эмпирических закона, перевернувших представление об орбитах:

Первый закон. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце. Не по окружностям, как считали до него.
Второй закон (закон площадей). Радиус-вектор планеты заметает равные площади за равные времена. Это значит, что вблизи Солнца (в перигелии) планета движется быстрее, вдали (в афелии) — медленнее.
Третий закон. $T^2 \propto a^3$: чем дальше планета, тем непропорционально дольше её год.

          афелий                      перигелий
  планета медленно              планета быстро
          v\                          /v
           \                        /
            \____________________ /
            (        * Солнце    )   <- Солнце в фокусе
             \__________________/         эллипса
         равные площади за равные времена

Проверим третий закон

В удобных единицах (период $T$ в годах, большая полуось $a$ в а.е., вокруг Солнца) коэффициент пропорциональности равен единице: $T^2 = a^3$, то есть $T = \sqrt{a^3}$. Проверим на реальных планетах:

import math

def period_years(a_au):
    """Период обращения (годы) по большой полуоси (а.е.) для Солнца."""
    return math.sqrt(a_au ** 3)

planets = [("Земля", 1.000), ("Марс", 1.524),
           ("Юпитер", 5.203), ("Сатурн", 9.537)]
for name, a in planets:
    T = period_years(a)
    print(f"{name}: a={a} а.е. -> период {round(T, 3)} лет")

Вывод:

Земля: a=1.0 а.е. -> период 1.0 лет
Марс: a=1.524 а.е. -> период 1.881 лет
Юпитер: a=5.203 а.е. -> период 11.868 лет
Сатурн: a=9.537 а.е. -> период 29.452 лет

Как работает под капотом

Кеплер получил эти законы чисто из наблюдений, не зная их причины. Причину объяснил Ньютон: все три закона выводятся из закона всемирного тяготения $F = GMm/r^2$ и второго закона динамики. Второй закон Кеплера — это просто сохранение момента импульса (нет момента силы — момент импульса постоянен). Третий закон в полной форме звучит так: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G(M + m)} a^3$. Для планет масса $m$ ничтожна по сравнению с Солнцем $M$, поэтому коэффициент почти одинаков для всех — и в солнечных единицах равен $1$.

Частые ошибки

Считать орбиты окружностями — они эллипсы, хотя у планет почти круговые.
Думать, что планета движется по орбите с постоянной скоростью — нет, в перигелии быстрее.
Применять $T^2 = a^3$ к спутникам другой звезды, не пересчитав коэффициент под её массу.

Итог

Орбиты — эллипсы с Солнцем в фокусе; скорость максимальна в перигелии.
Третий закон $T^2 \propto a^3$; в годах и а.е. вокруг Солнца просто $T = \sqrt{a^3}$.
Все три закона следуют из тяготения Ньютона.