Закон тяготения и космические скорости

Гравитация удерживает планеты на орбитах; те же формулы дают скорости, нужные спутнику и ракете.

Закон всемирного тяготения: $F = \dfrac{GMm}{r^2}$ — сила притяжения двух тел убывает как квадрат расстояния между ними.

От силы к орбитам

Закон Ньютона объясняет всё движение Солнечной системы одной формулой: сила притяжения пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния. Из неё выводятся обе ключевые скорости космонавтики.

Первая космическая (орбитальная) скорость — минимальная скорость для круговой орбиты на радиусе $r$: $v_1 = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$. На ней центробежное стремление точно уравновешивает тяготение.

Вторая космическая (скорость убегания) — минимальная скорость, чтобы навсегда улететь от тела: $v_2 = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} = v_1\sqrt{2}$.

import math

G = 6.674e-11
M_earth = 5.972e24   # масса Земли, кг
R_earth = 6.371e6    # радиус Земли, м

def orbital_speed(M, r):
    return math.sqrt(G * M / r)

def escape_speed(M, r):
    return math.sqrt(2 * G * M / r)

# Низкая околоземная орбита: высота 400 км (как у МКС)
r = R_earth + 400e3
print("Орбитальная скорость:", round(orbital_speed(M_earth, r), 1), "м/с")
print("Скорость убегания:", round(escape_speed(M_earth, r), 1), "м/с")
print("Отношение:", round(escape_speed(M_earth, r) / orbital_speed(M_earth, r), 4))

Вывод:

Орбитальная скорость: 7672.3 м/с
Скорость убегания: 10850.3 м/с
Отношение: 1.4142

Как работает под капотом

Орбитальную скорость легко вывести: для круговой орбиты гравитационная сила играет роль центростремительной, $\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r}$. Сократив массу спутника $m$ и $r$, получаем $v^2 = GM/r$. Заметьте: масса самого спутника исчезает — скорость орбиты не зависит от того, кирпич это или станция. Скорость убегания выводится из энергии: чтобы тело улетело на бесконечность с нулевой остаточной скоростью, его кинетической энергии должно хватить ровно на компенсацию гравитационной потенциальной ямы, $\dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{GMm}{r}$. Отсюда множитель $\sqrt{2}$ — он и виден в выводе как отношение $1.4142$.

Обобщение: уравнение vis-viva

Для любой орбиты (не только круговой) скорость на расстоянии $r$ даёт уравнение vis-viva: $v = \sqrt{GM\left(\dfrac{2}{r} - \dfrac{1}{a}\right)}$, где $a$ — большая полуось. При $a = r$ (круг) оно даёт первую космическую, при $a \to \infty$ (парабола) — вторую. Мы используем его в следующем разделе для симуляции орбиты.

Частые ошибки

Думать, что орбитальная скорость зависит от массы спутника — она не зависит.
Путать первую и вторую космические: вторая в $\sqrt{2}$ раза больше первой.
Использовать радиус планеты вместо радиуса орбиты ($R + h$) для спутника на высоте.

Итог

Тяготение $F = GMm/r^2$ управляет всем движением в Солнечной системе.
Орбитальная скорость $v_1 = \sqrt{GM/r}$, скорость убегания $v_2 = v_1\sqrt{2}$.
Уравнение vis-viva обобщает скорость на любую эллиптическую орбиту.