Теорема Клаузиуса и КПД через энтропию

Урок связывает энтропию с КПД и показывает, откуда берётся предел Карно.

Неравенство Клаузиуса: для любого цикла $\oint \dfrac{dQ}{T} \le 0$, причём равенство достигается только для обратимого цикла.

Энтропия — не абстракция: именно она объясняет, почему КПД ограничен. Величину $dQ/T$ называют приведённой теплотой. Для замкнутого обратимого цикла её сумма равна нулю — это и определяет энтропию как функцию состояния.

Приведённая теплота в цикле Карно

В цикле Карно теплота подводится только на горячей изотерме ($Q_1$ при $T_1$) и отводится на холодной ($Q_2$ при $T_2$). Обратимость требует:

$$\frac{Q_1}{T_1} = \frac{Q_2}{T_2}$$

Отсюда $Q_2/Q_1 = T_2/T_1$, что мгновенно даёт КПД Карно $\eta = 1 - Q_2/Q_1 = 1 - T_2/T_1$. Так формула КПД оказывается прямым следствием постоянства энтропии в обратимом цикле.

T1, T2 = 800.0, 300.0
Q1 = 1000.0
Q2 = Q1 * T2 / T1          # из Q1/T1 = Q2/T2
print("Q2 =", round(Q2, 1), "Дж")
print("Q1/T1 =", round(Q1/T1, 4), "Дж/К")
print("Q2/T2 =", round(Q2/T2, 4), "Дж/К  (равны -> обратимо)")
print("КПД =", round((1 - Q2/Q1)*100, 1), "%")

Вывод:

Q2 = 375.0 Дж
Q1/T1 = 1.25 Дж/К
Q2/T2 = 1.25 Дж/К  (равны -> обратимо)
КПД = 62.5 %

Необратимый цикл

В реальном цикле появляются необратимости, и $\oint dQ/T \lt 0$. Это значит, что отведённой теплоты $Q_2$ больше, чем в идеале, поэтому КПД ниже карновского. Чем сильнее неравенство, тем дальше машина от теоретического предела.

Как работает под капотом

Поскольку энтропия — функция состояния, за полный цикл $\Delta S_{\text{раб.тела}}=0$. Но в необратимом цикле часть энтропии «рождается» внутри (производство энтропии $S_{\text{ген}}\gt 0$) и уходит в холодильник вместе с лишней теплотой. Именно эта рождённая энтропия и обесценивает энергию, снижая полезную работу. Обратимый цикл — единственный, где $S_{\text{ген}}=0$ и КПД максимален.

Частые ошибки

Считать, что $\oint dQ/T = 0$ для любого цикла; это верно только для обратимого.
Путать $\Delta S$ рабочего тела (за цикл равно нулю) с произведённой энтропией системы.
Забывать делить теплоту на температуру: складывать сами $Q$ бессмысленно — складывают приведённые теплоты.

Итог

Неравенство Клаузиуса: $\oint dQ/T \le 0$, равенство — для обратимого цикла.
Из $Q_1/T_1 = Q_2/T_2$ напрямую следует КПД Карно.
Необратимости рождают энтропию и снижают КПД ниже предела.