Энтропия: ΔS = ∫dQ/T
Урок вводит энтропию как функцию состояния и учит считать её изменение.
Энтропия $S$ — функция состояния, изменение которой в обратимом процессе равно $\Delta S = \int \dfrac{dQ}{T}$.
Энтропия превращает качественное «беспорядок растёт» в число. Подведённая порция теплоты $dQ$ при температуре $T$ увеличивает энтропию на $dQ/T$. Чем ниже температура, тем сильнее одна и та же теплота меняет энтропию.
Изотермический случай
Если процесс идёт при постоянной температуре, температуру можно вынести из интеграла:
$$\Delta S = \frac{Q}{T}$$
Для изотермического расширения идеального газа $Q=A=nRT\ln(V_2/V_1)$, поэтому $\Delta S = nR\ln(V_2/V_1)$.
import math
n = 1.0; R = 8.314; T = 350.0
V1, V2 = 0.020, 0.040
Q = n * R * T * math.log(V2 / V1) # = работе при изотерме
dS = Q / T
print("Подведённая теплота Q =", round(Q, 1), "Дж")
print("Изменение энтропии dS =", round(dS, 3), "Дж/К")Вывод:
Подведённая теплота Q = 2017.0 Дж Изменение энтропии dS = 5.763 Дж/К
Общий случай для газа
Если меняются и температура, и объём, изменение энтропии идеального газа складывается из двух вкладов:
$$\Delta S = nC_v\ln\frac{T_2}{T_1} + nR\ln\frac{V_2}{V_1}$$
import math
n = 1.0; R = 8.314; Cv = 1.5 * R
T1, T2 = 300.0, 400.0
V1, V2 = 0.020, 0.030
dS = n * Cv * math.log(T2 / T1) + n * R * math.log(V2 / V1)
print("Изменение энтропии dS =", round(dS, 4), "Дж/К")Вывод:
Изменение энтропии dS = 6.9587 Дж/К
Как работает под капотом
Энтропия — функция состояния: $\Delta S$ зависит только от начала и конца, а не от пути. Поэтому даже для необратимого процесса её считают по любому удобному обратимому пути между теми же состояниями. Микроскопически энтропия связана с числом микросостояний $W$ формулой Больцмана $S = k\ln W$: чем больше способов реализовать состояние, тем выше энтропия.
Частые ошибки
- Считать $\Delta S = Q/T$ при переменной температуре — там нужен интеграл или логарифмическая формула.
- Забывать, что энтропия — функция состояния, и её можно считать по обратимому пути.
- Брать температуру в °C: в знаменателе $dQ/T$ обязателен Кельвин.
Итог
- $\Delta S = \int dQ/T$ — мера беспорядка как функция состояния.
- При $T=\text{const}$: $\Delta S = Q/T$.
- Для газа $\Delta S = nC_v\ln(T_2/T_1) + nR\ln(V_2/V_1)$.