Закон Гука и модуль Юнга

В упругой зоне напряжение прямо пропорционально деформации — это и есть закон Гука.

Закон Гука: $\sigma = E\varepsilon$, где $E$ — модуль Юнга (модуль упругости) материала.

Линейная связь напряжения и деформации

Опыт показывает: пока нагрузка невелика, удлинение пропорционально силе, а после снятия нагрузки тело полностью восстанавливает форму. Это упругое поведение. Связь напряжения и деформации в этой зоне линейна:

$$ \sigma = E\,\varepsilon $$

Коэффициент $E$ называется модулем Юнга или модулем продольной упругости. Поскольку $\varepsilon$ безразмерна, $E$ имеет ту же размерность, что и напряжение — паскали. Чем больше $E$, тем жёстче материал: тем большее напряжение нужно для той же деформации. Для стали $E \approx 2{,}1 \cdot 10^{11}\ \text{Па} = 210\ \text{ГПа}$, для алюминия около 70 ГПа, для бетона 30 ГПа, для дерева вдоль волокон около 10 ГПа.

Формула удлинения стержня

Подставим $\sigma = N/A$ и $\varepsilon = \Delta l/l$ в закон Гука: $\frac{N}{A} = E\frac{\Delta l}{l}$. Отсюда главная расчётная формула жёсткости при растяжении:

$$ \Delta l = \frac{N\,l}{E\,A} $$

Произведение $EA$ называют жёсткостью сечения при растяжении. Чем оно больше, тем меньше удлинение. Посчитаем удлинение стального стержня: $N = 50$ кН, $l = 2$ м, диаметр 20 мм.

import math

N = 50_000.0           # сила, Н
l = 2.0                # длина, м
E = 2.1e11             # модуль Юнга стали, Па
d = 0.020              # диаметр, м
A = math.pi * d**2 / 4 # площадь, м^2

dl = N * l / (E * A)   # удлинение, м
sigma = N / A          # напряжение, Па
eps = sigma / E        # деформация
print("Напряжение =", round(sigma / 1e6, 2), "МПа")
print("Деформация =", round(eps, 6))
print("Удлинение  =", round(dl * 1000, 3), "мм")

Вывод:

Напряжение = 159.15 МПа
Деформация = 0.000758
Удлинение  = 1.516 мм

Как работает под капотом

Закон Гука — линейное приближение реальной кривой «напряжение–деформация» на её начальном участке. Геометрически $E$ — это тангенс угла наклона прямой $\sigma(\varepsilon)$. За пределом пропорциональности кривая загибается, и закон Гука перестаёт работать (об этом — раздел про диаграмму растяжения). Формула $\Delta l = Nl/(EA)$ верна, когда $N$, $E$ и $A$ постоянны по длине; иначе участок разбивают и удлинения суммируют: $\Delta l = \sum N_i l_i/(E_i A_i)$.

Частые ошибки

• Путают $E$ (свойство материала, не зависит от формы) и жёсткость $EA$ (зависит от сечения).
• Берут $E$ в ГПа, а остальное в СИ — нужно перевести в Па: 210 ГПа = $2{,}1\cdot10^{11}$ Па.
• Применяют закон Гука за пределом упругости, где он неверен.

Итоги

• Закон Гука: $\sigma = E\varepsilon$ в упругой зоне.
• Модуль Юнга $E$ — мера жёсткости материала, для стали 210 ГПа.
• Удлинение стержня $\Delta l = Nl/(EA)$, $EA$ — жёсткость сечения.
• При переменных $N$, $A$ участки суммируют.