Деформация и относительное удлинение

Деформация измеряет, на какую долю своей длины удлинилась или укоротилась деталь.

Относительная деформация $\varepsilon$ — отношение изменения длины к первоначальной длине.

Абсолютная деформация

Когда стержень длиной $l$ растягивают, он удлиняется на величину $\Delta l$ — это абсолютная деформация (в метрах). Но удлинение в 1 мм для проволоки длиной 10 см и для троса длиной 100 м — это совершенно разные «события». Чтобы сравнивать материалы независимо от размеров, вводят относительную величину.

Относительная деформация

$$ \varepsilon = \frac{\Delta l}{l} $$

Это безразмерная величина (метры делятся на метры). Часто её выражают в процентах или в «микрострейнах» $\mu\varepsilon = 10^{-6}$. Например, $\varepsilon = 0{,}001$ — это 0,1 % или 1000 µε. Для металлов в упругой зоне деформации малы — доли процента; для резины могут достигать сотен процентов.

Посчитаем: стальной стержень длиной 2 м удлинился на 1,6 мм.

l = 2.0           # исходная длина, м
dl = 0.0016       # удлинение, м (1.6 мм)
eps = dl / l      # относительная деформация (безразмерная)
print("eps =", eps)
print("eps =", eps * 100, "%")
print("eps =", eps * 1e6, "микрострейн")

Вывод:

eps = 0.0008
eps = 0.08 %
eps = 800.0 микрострейн

Поперечная деформация и коэффициент Пуассона

При растяжении вдоль оси стержень не только удлиняется, но и становится тоньше поперёк. Отношение поперечной относительной деформации к продольной (по модулю) называют коэффициентом Пуассона $\mu$:

$$ \mu = \left| \frac{\varepsilon_{поп}}{\varepsilon_{прод}} \right| $$

Для большинства металлов $\mu \approx 0{,}3$, для резины близок к $0{,}5$ (объём почти не меняется), для пробки около нуля. Знак минус отражает, что при удлинении поперечный размер уменьшается.

eps_long = 0.0008   # продольная деформация
mu = 0.30           # коэффициент Пуассона стали
eps_trans = -mu * eps_long  # поперечная деформация
print("Поперечная деформация =", eps_trans)

Вывод:

Поперечная деформация = -0.00024

Как работает под капотом

Строго говоря, $\varepsilon = \Delta l / l$ — это средняя деформация по длине. В точке деформация определяется как производная перемещения $u$ по координате: $\varepsilon = du/dx$. Если стержень нагружен равномерно, перемещение линейно по длине и средняя деформация совпадает с местной. При переменной нагрузке (например, под собственным весом) деформация меняется по длине, и полное удлинение находят интегрированием: $\Delta l = \int_0^l \varepsilon\, dx$.

Частые ошибки

Делят на конечную длину вместо начальной — для малых деформаций разница мала, но методически правильно делить на исходную $l$.
Забывают, что $\varepsilon$ безразмерна, и приписывают ей единицы.
Путают абсолютную $\Delta l$ (метры) и относительную $\varepsilon$ (число).

Итоги

Абсолютная деформация $\Delta l$ измеряется в метрах, относительная $\varepsilon = \Delta l/l$ безразмерна.
$\varepsilon$ удобно выражать в процентах или микрострейнах.
Поперечная деформация связана с продольной коэффициентом Пуассона $\mu \approx 0{,}3$ для стали.
В точке $\varepsilon = du/dx$ — производная перемещения.