Нормальное напряжение σ = N/A

Напряжение показывает, насколько «густо» внутренняя сила распределена по площади сечения.

Нормальное напряжение $\sigma$ — интенсивность внутренней силы, действующей перпендикулярно сечению, на единицу площади.

Зачем вводят напряжение

Продольная сила $N$ сама по себе ничего не говорит о прочности. Сила в 10 000 Н легко выдержит толстый брус и порвёт тонкую проволоку. Важна не сила, а то, на какую площадь она «размазана». Поэтому вводят отношение силы к площади поперечного сечения — напряжение:

$$ \sigma = \frac{N}{A} $$

Здесь $N$ — продольная сила (Н), $A$ — площадь поперечного сечения (м²), $\sigma$ — напряжение в паскалях: $1\ \text{Па} = 1\ \text{Н/м}^2$. Паскаль крошечный, поэтому в технике пользуются мегапаскалями: $1\ \text{МПа} = 10^6\ \text{Па} = 1\ \text{Н/мм}^2$. Последнее равенство удобно: напряжение в МПа численно равно силе в ньютонах на квадратный миллиметр.

Площадь круглого сечения

Для стержня круглого сечения диаметром $d$ площадь равна:

$$ A = \frac{\pi d^2}{4} $$

Посчитаем напряжение в стальном пруте диаметром 20 мм, нагруженном силой 50 кН.

import math

F = 50_000.0          # сила, Н (50 кН)
d = 0.020             # диаметр, м (20 мм)
A = math.pi * d**2 / 4  # площадь сечения, м^2
sigma = F / A           # напряжение, Па
print("Площадь A =", round(A * 1e6, 2), "мм^2")
print("Напряжение sigma =", round(sigma / 1e6, 2), "МПа")

Вывод:

Площадь A = 314.16 мм^2
Напряжение sigma = 159.15 МПа

159 МПа — это много или мало? Для конструкционной стали с пределом текучести около 240 МПа есть запас. Сравнение с предельным напряжением — тема раздела про прочность.

Где напряжение распределено равномерно

Формула $\sigma = N/A$ предполагает, что напряжение одинаково по всей площади. Это верно вдали от мест приложения нагрузки и резких изменений сечения — так гласит принцип Сен-Венана: на расстоянии порядка размера сечения от точки приложения силы распределение выравнивается. Возле отверстий, галтелей и под самой силой возникает концентрация напряжений — там местное значение выше среднего.

Как работает под капотом

Напряжение — это предел отношения силы к площадке при стягивании площадки в точку: $\sigma = \lim_{\Delta A \to 0} \Delta N / \Delta A$. Когда мы пишем $\sigma = N/A$, мы фактически усредняем по сечению. Размерность Па = Н/м² совпадает с размерностью давления — и физически напряжение родственно давлению, только может быть и растягивающим, и сжимающим.

Частые ошибки

Подставляют площадь в мм², а силу в Н и получают МПа — это верно, но тогда нельзя мешать с метрами в той же формуле. Держите единую систему: либо всё в СИ (м, Н, Па), либо последовательно Н/мм².
Берут диаметр вместо радиуса в формуле площади: $A = \pi d^2/4$, но $A = \pi r^2$.
Применяют $\sigma = N/A$ прямо под точкой приложения силы, где формула неверна из-за концентрации.

Итоги

Напряжение $\sigma = N/A$ — сила на единицу площади, измеряется в паскалях.
$1\ \text{МПа} = 1\ \text{Н/мм}^2$ — рабочая единица инженера.
Площадь круга $A = \pi d^2/4$.
Формула справедлива вдали от концентраторов (принцип Сен-Венана).