Угол закручивания и расчёт на жёсткость

Помимо прочности, вал проверяют на жёсткость — чтобы он не закручивался сверх нормы.

Угол закручивания $\varphi$ — угол поворота одного концевого сечения вала относительно другого.

Формула угла закручивания

Аналогично растяжению ($\Delta l = Nl/(EA)$), при кручении полный угол поворота между сечениями на расстоянии $l$:

$$ \varphi = \frac{M_к\, l}{G\, I_p} $$

Произведение $G I_p$ называют жёсткостью сечения при кручении. Угол получается в радианах. Чем больше $G I_p$, тем меньше закрутка. Посчитаем для стального вала.

import math

M_k = 95.49      # крутящий момент, Н·м
l = 1.2          # длина вала, м
G = 8.08e10      # модуль сдвига стали, Па
d = 0.040
I_p = math.pi * d**4 / 32   # полярный момент инерции, м^4

phi = M_k * l / (G * I_p)        # угол в радианах
phi_deg = math.degrees(phi)      # в градусах
print("Полярный момент инерции Ip =", round(I_p*1e9, 1), "мм^4")
print("Угол закручивания =", round(phi, 5), "рад")
print("Угол закручивания =", round(phi_deg, 3), "градуса")

Вывод:

Полярный момент инерции Ip = 251.3 мм^4
Угол закручивания = 0.00564 рад
Угол закручивания = 0.323 градуса

Относительный угол закручивания

Для оценки жёсткости удобнее относительный угол закручивания — угол на единицу длины:

$$ \theta = \frac{\varphi}{l} = \frac{M_к}{G\, I_p} $$

Его измеряют в рад/м (или град/м) и сравнивают с допускаемым $[\theta]$. Типичная норма — около 0,25–1 град/м для валов средней ответственности. Условие жёсткости: $\theta \le [\theta]$.

import math
M_k, G, d, l = 95.49, 8.08e10, 0.040, 1.2
I_p = math.pi * d**4 / 32
theta = M_k / (G * I_p)            # рад/м
theta_deg_per_m = math.degrees(theta)
theta_adm = 0.5                   # допускаемый, град/м
print("Относительный угол =", round(theta_deg_per_m, 4), "град/м")
print("Жёсткость обеспечена:", theta_deg_per_m <= theta_adm)

Вывод:

Относительный угол = 0.2694 град/м
Жёсткость обеспечена: True

Подбор диаметра из жёсткости

Из условия $\theta = M_к/(G I_p) \le [\theta]$ и $I_p = \pi d^4/32$ получаем минимальный диаметр: $d \ge \sqrt[4]{\dfrac{32 M_к}{\pi G [\theta]}}$. Часто вал считают и на прочность, и на жёсткость, а берут больший из двух диаметров.

import math
M_k, G = 95.49, 8.08e10
theta_adm = math.radians(0.5)   # рад/м
d_min = (32 * M_k / (math.pi * G * theta_adm)) ** 0.25
print("Минимальный диаметр из жёсткости =", round(d_min*1000, 2), "мм")

Вывод:

Минимальный диаметр из жёсткости = 34.27 мм

Как работает под капотом

Формула $\varphi = M_к l/(G I_p)$ выводится из гипотезы плоских сечений: относительный сдвиг $\gamma = \rho\, d\varphi/dx$, по закону Гука $\tau = G\gamma$, и интегрирование по сечению даёт связь момента с производной угла. При переменном моменте или сечении вал разбивают на участки и углы суммируют: $\varphi = \sum M_{к,i} l_i/(G I_{p,i})$ — как удлинения при растяжении.

Частые ошибки

• Оставляют угол в радианах, когда нужны градусы (и наоборот) — следите за единицами.
• Берут $W_p$ вместо $I_p$ в формуле угла: для угла нужен именно полярный момент инерции.
• Проверяют только прочность, забывая жёсткость — длинный вал может быть прочен, но недопустимо «мягок».

Итоги

• Угол закручивания $\varphi = M_к l/(G I_p)$, $G I_p$ — жёсткость при кручении.
• Относительный угол $\theta = \varphi/l$, условие жёсткости $\theta \le [\theta]$.
• Диаметр из жёсткости: $d \ge \sqrt[4]{32M_к/(\pi G[\theta])}$.
• Берут больший диаметр из расчётов на прочность и жёсткость.