Сдвиг и касательные напряжения

Касательные напряжения возникают, когда силы стремятся сдвинуть одну часть сечения относительно другой.

Касательное напряжение $\tau$ — интенсивность внутренней силы, действующей в плоскости сечения (вдоль него), на единицу площади.

Что такое сдвиг

Если нормальное напряжение $\sigma$ растягивает или сжимает поперёк сечения, то касательное напряжение $\tau$ действует в плоскости сечения. Классический пример — заклёпка или болт в соединении внахлёст: две силы тянут листы в противоположные стороны, и заклёпку как бы «режут» по плоскости стыка. Это деформация сдвига (среза).

В простейшей модели чистого среза касательное напряжение считают равномерным по площади:

$$ \tau = \frac{Q}{A} $$

где $Q$ — перерезывающая сила, $A$ — площадь среза. Условие прочности на срез: $\tau \le [\tau]$, причём $[\tau] \approx 0{,}6\,[\sigma]$ для пластичных металлов.

import math
Q = 25_000.0     # перерезывающая сила, Н
d = 0.016        # диаметр заклёпки, м
A = math.pi * d**2 / 4
tau = Q / A      # касательное напряжение среза, Па
tau_adm = 0.6 * 160e6
print("Касательное напряжение tau =", round(tau/1e6, 1), "МПа")
print("Допускаемое [tau] =", round(tau_adm/1e6, 1), "МПа")
print("Срез выдержит:", tau <= tau_adm)

Вывод:

Касательное напряжение tau = 124.3 МПа
Допускаемое [tau] = 96.0 МПа
Срез выдержит: False

Одна заклёпка не справляется — нужно либо увеличить диаметр, либо поставить несколько заклёпок (сила делится между ними).

Закон Гука для сдвига и модуль G

При сдвиге элемент перекашивается на угол $\gamma$ (угол сдвига). Закон Гука для сдвига связывает касательное напряжение с углом:

$$ \tau = G\,\gamma $$

где $G$ — модуль сдвига (модуль упругости второго рода). Он связан с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона:

$$ G = \frac{E}{2(1 + \mu)} $$

E = 2.1e11
mu = 0.30
G = E / (2 * (1 + mu))
print("Модуль сдвига G =", round(G/1e9, 1), "ГПа")

Вывод:

Модуль сдвига G = 80.8 ГПа

Для стали $G \approx 80$ ГПа — примерно в 2,6 раза меньше $E$.

Закон парности касательных напряжений

Касательные напряжения не бывают в одиночку: на двух взаимно перпендикулярных площадках они равны по величине и направлены «навстречу углу». Это закон парности $\tau_{xy} = \tau_{yx}$. Он гарантирует равновесие элементарного объёма по моментам.

Как работает под капотом

Модель $\tau = Q/A$ — упрощённая: в действительности касательные напряжения по сечению распределены неравномерно (при изгибе — по параболе, об этом позже). Но для коротких соединительных элементов (заклёпки, штифты, сварные швы) равномерное приближение даёт хороший инженерный результат и заложено в нормы.

Частые ошибки

Считают одну плоскость среза, когда их две (двухсрезное соединение) — тогда площадь удваивается.
Берут $[\tau] = [\sigma]$ — на самом деле $[\tau]$ примерно вдвое меньше.
Путают модули $E$ и $G$.

Итоги

Касательное напряжение $\tau$ действует в плоскости сечения; при срезе $\tau = Q/A$.
Закон Гука для сдвига: $\tau = G\gamma$.
$G = E/[2(1+\mu)] \approx 80$ ГПа для стали.
Закон парности: $\tau_{xy} = \tau_{yx}$.