Кручение вала: касательные напряжения

При кручении вала касательные напряжения растут от нуля в центре до максимума на поверхности.

Кручение — деформация бруса под действием моментов, вращающих сечения вокруг продольной оси.

Где встречается кручение

Валы двигателей, карданы, оси, винты отвёрток, буровые штанги — всё это работает на кручение. Внутренний силовой фактор здесь — крутящий момент $M_к$. Он передаёт мощность: связь мощности $P$ (Вт), момента и угловой скорости $\omega$ (рад/с) — $M_к = P/\omega$, а $\omega = 2\pi n/60$ при частоте $n$ оборотов в минуту.

Распределение напряжений

В круглом сечении касательные напряжения при кручении направлены по касательной к окружностям и линейно растут от центра к краю:

$$ \tau(\rho) = \frac{M_к\,\rho}{I_p} $$

где $\rho$ — расстояние от оси, $I_p$ — полярный момент инерции сечения. В центре $\tau = 0$ (материал там почти не работает — поэтому валы часто делают полыми), на поверхности при $\rho = d/2$ напряжение максимально. Для сплошного круга:

$$ I_p = \frac{\pi d^4}{32}, \qquad W_p = \frac{I_p}{d/2} = \frac{\pi d^3}{16} $$

$W_p$ — полярный момент сопротивления. Максимальное напряжение:

$$ \tau_{max} = \frac{M_к}{W_p} $$

import math

P = 15_000.0     # мощность, Вт (15 кВт)
n = 1500.0       # обороты в минуту
omega = 2 * math.pi * n / 60   # угловая скорость, рад/с
M_k = P / omega                # крутящий момент, Н·м

d = 0.040        # диаметр вала, м
W_p = math.pi * d**3 / 16      # полярный момент сопротивления, м^3
tau_max = M_k / W_p            # макс. касательное напряжение, Па

print("Крутящий момент M_k =", round(M_k, 2), "Н·м")
print("Wp =", round(W_p*1e9, 1), "мм^3")
print("Макс. касательное напряжение =", round(tau_max/1e6, 2), "МПа")

Вывод:

Крутящий момент M_k = 95.49 Н·м
Wp = 12566.4 мм^3
Макс. касательное напряжение = 7.6 МПа

Полый вал эффективнее

Поскольку у центра напряжения малы, материал там почти бесполезен. Для полого вала с внешним $D$ и внутренним $d$ диаметрами $I_p = \frac{\pi}{32}(D^4 - d^4)$. Полый вал при той же прочности легче сплошного — это используют в карданных валах и велосипедных рамах.

import math
D = 0.040
d_in = 0.030
Ip_hollow = math.pi * (D**4 - d_in**4) / 32
Ip_solid = math.pi * D**4 / 32
print("Ip полого  =", round(Ip_hollow*1e9, 1), "мм^4")
print("Ip сплошного =", round(Ip_solid*1e9, 1), "мм^4")
print("Полый сохраняет", round(Ip_hollow/Ip_solid*100, 1), "% жёсткости при меньшей массе")

Вывод:

Ip полого  = 171.8 мм^4
Ip сплошного = 251.3 мм^4
Полый сохраняет 68.4 % жёсткости при меньшей массе

Как работает под капотом

Гипотеза плоских сечений при кручении круглого вала: сечения остаются плоскими и поворачиваются как жёсткие диски. Из неё следует, что сдвиг $\gamma$ пропорционален радиусу, а по закону Гука $\tau = G\gamma$ — и напряжение пропорционально радиусу. Для некруглых сечений гипотеза нарушается (появляется депланация), и формулы другие.

Частые ошибки

Используют момент сопротивления изгиба $W$ вместо полярного $W_p$ — они разные ($W_p = \pi d^3/16$, а для изгиба $W = \pi d^3/32$).
Забывают перевести обороты в угловую скорость: $\omega = 2\pi n/60$.
Считают напряжение в центре максимальным — там оно равно нулю.

Итоги

При кручении $\tau$ линейно растёт от центра к поверхности.
$I_p = \pi d^4/32$, $W_p = \pi d^3/16$ для сплошного круга.
$\tau_{max} = M_к/W_p$.
Полый вал эффективнее: материал у центра почти не работает.