Центр тяжести и статический момент

Прежде чем считать моменты инерции, нужно найти центр тяжести сечения — относительно него и ведут расчёт.

Центр тяжести (центроид) сечения — точка, относительно которой статический момент площади равен нулю.

Статический момент площади

Геометрические характеристики сечения определяют, как оно сопротивляется изгибу и кручению — независимо от материала. Базовая величина — статический момент площади относительно оси:

$$ S_x = \int_A y\, dA, \qquad S_y = \int_A x\, dA $$

Размерность — м³. Для составного сечения интеграл превращается в сумму по простым фигурам: $S_x = \sum A_i\, y_i$, где $y_i$ — координата центра тяжести $i$-й фигуры.

Координаты центра тяжести

Центр тяжести составной фигуры — это «средневзвешенная» по площади точка:

$$ y_c = \frac{\sum A_i\, y_i}{\sum A_i}, \qquad x_c = \frac{\sum A_i\, x_i}{\sum A_i} $$

Найдём центр тяжести Т-образного сечения из двух прямоугольников: полка 100×20 мм сверху и стенка 20×80 мм под ней.

# Координаты центров считаем от нижней грани, мм
# Стенка: 20 x 80, центр на высоте 40
# Полка: 100 x 20, центр на высоте 80 + 10 = 90
figures = [
    # (площадь A, координата центра y)
    (20 * 80, 40.0),    # стенка
    (100 * 20, 90.0),   # полка
]
A_total = sum(A for A, y in figures)
Sx = sum(A * y for A, y in figures)
y_c = Sx / A_total
print("Суммарная площадь =", A_total, "мм^2")
print("Статический момент Sx =", Sx, "мм^3")
print("Центр тяжести y_c =", round(y_c, 2), "мм от низа")

Вывод:

Суммарная площадь = 3600 мм^2
Статический момент Sx = 244000.0 мм^3
Центр тяжести y_c = 67.78 мм от низа

Центр тяжести смещён вверх — туда, где больше материала (к широкой полке).

Оси симметрии

Если сечение имеет ось симметрии, центр тяжести лежит на ней — это сразу даёт одну координату без вычислений. У сечения с двумя осями симметрии (круг, прямоугольник, двутавр) центр тяжести — в точке их пересечения.

Как работает под капотом

Статический момент относительно центральной оси равен нулю — это и есть определение центроида. Поэтому при расчёте моментов инерции оси всегда проводят через центр тяжести: тогда исчезают «лишние» слагаемые. Метод «отрицательных площадей» позволяет считать сечения с вырезами: площадь выреза берут со знаком минус.

Частые ошибки

Считают координаты центров фигур от разных баз — нужна одна общая система отсчёта.
Забывают про знак при вырезах (отверстиях): их площадь отрицательна.
Берут геометрический центр габарита вместо центра тяжести несимметричной фигуры.

Итоги

Статический момент $S_x = \sum A_i y_i$ имеет размерность м³.
Центр тяжести $y_c = \sum A_i y_i / \sum A_i$.
Относительно центральной оси статический момент равен нулю.
Ось симметрии всегда проходит через центр тяжести.