Момент сопротивления сечения
Момент сопротивления связывает момент инерции с крайними волокнами — именно он входит в расчёт напряжений при изгибе.
Осевой момент сопротивления $W = \dfrac{I}{y_{max}}$ — отношение момента инерции к расстоянию до самого удалённого волокна.
Зачем он нужен
Напряжения при изгибе максимальны в крайних волокнах сечения — там, где $y$ наибольший. Чтобы сразу получить максимальное напряжение, удобно объединить $I$ и $y_{max}$ в одну величину — момент сопротивления:
$$ W = \frac{I}{y_{max}}, \qquad \sigma_{max} = \frac{M}{W} $$
Размерность $W$ — м³. Чем больше $W$, тем меньше напряжение при заданном моменте — то есть тем прочнее сечение на изгиб.
Формулы для простых сечений
Для прямоугольника ($b$ — ширина, $h$ — высота), ось через центр, $y_{max} = h/2$:
$$ W = \frac{bh^3/12}{h/2} = \frac{b\,h^2}{6} $$
Для круга диаметром $d$, $y_{max} = d/2$:
$$ W = \frac{\pi d^4/64}{d/2} = \frac{\pi d^3}{32} $$
import math
# Прямоугольник 50 x 100 мм (h=100 вертикально)
b, h = 0.050, 0.100
W_rect = b * h**2 / 6
print("W прямоугольника =", round(W_rect*1e6, 1), "см^3? ->", round(W_rect*1e9, 0), "мм^3")
# Круг d = 40 мм
d = 0.040
W_circ = math.pi * d**3 / 32
print("W круга d=40 =", round(W_circ*1e9, 0), "мм^3")Вывод:
W прямоугольника = 83.3 см^3? -> 83333.0 мм^3 W круга d=40 = 6283.0 мм^3
Сравнение эффективности сечений
При одинаковой площади (одинаковом расходе материала) разные сечения дают разный $W$. Двутавр и труба эффективнее сплошного прямоугольника и круга, потому что выносят материал от нейтральной оси. Сравним сплошной квадрат и полую трубу той же площади.
import math
# Сплошной квадрат стороной a
a = 0.040
A_sq = a*a
W_sq = a * a**2 / 6
# Труба той же площади: подберём D и d при D/d = 1.5
# A = pi/4 (D^2 - d^2) = A_sq, d = D/1.5
k = 1.5
# A_sq = pi/4 * D^2 (1 - 1/k^2)
D = math.sqrt(A_sq / (math.pi/4 * (1 - 1/k**2)))
d = D / k
I_tube = math.pi*(D**4 - d**4)/64
W_tube = I_tube / (D/2)
print("W квадрата =", round(W_sq*1e9, 0), "мм^3")
print("W трубы той же площади =", round(W_tube*1e9, 0), "мм^3")
print("Труба эффективнее в", round(W_tube/W_sq, 2), "раза")Вывод:
W квадрата = 10667.0 мм^3 W трубы той же площади = 17494.0 мм^3 Труба эффективнее в 1.64 раза
Полярный момент сопротивления — для кручения
Не путайте осевой момент сопротивления $W$ (изгиб) и полярный $W_p$ (кручение). Для круга $W = \pi d^3/32$, а $W_p = \pi d^3/16 = 2W$ — ровно вдвое больше.
Как работает под капотом
Момент сопротивления — производная характеристика: он не несёт новой физики сверх $I$ и $y_{max}$, но избавляет от повторного деления при каждом расчёте напряжения. Для несимметричных сечений (например, тавра) $y_{max}$ сверху и снизу разные, поэтому различают $W_{верх}$ и $W_{низ}$ — опасным будет волокно с меньшим $W$ (большим напряжением).
Частые ошибки
- Путают осевой $W$ и полярный $W_p$ моменты сопротивления.
- Для несимметричного сечения берут один $W$, тогда как нужно проверять оба крайних волокна.
- Делят на $y_{max}$ в неверных единицах.
Итоги
- $W = I/y_{max}$, и $\sigma_{max} = M/W$.
- Прямоугольник: $W = bh^2/6$; круг: $W = \pi d^3/32$.
- Полые и двутавровые сечения эффективнее при той же площади.
- Для несимметричных сечений проверяют оба крайних волокна.