Поперечная сила и изгибающий момент

При изгибе в сечении балки действуют два фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент M.

Изгибающий момент $M$ — момент внутренних сил в сечении, стремящийся искривить балку; поперечная сила $Q$ — равнодействующая касательных сил в сечении.

Балка и опоры

Балка — брус, работающий на изгиб от поперечных нагрузок. Типичные опоры: шарнирно-подвижная (даёт одну реакцию), шарнирно-неподвижная (две реакции), жёсткая заделка (реакция и момент). Расчёт начинается с определения реакций опор из уравнений равновесия: $\sum F_y = 0$, $\sum M = 0$.

Два внутренних фактора

Рассечём балку и рассмотрим левую часть. Поперечная сила $Q$ в сечении равна алгебраической сумме всех вертикальных сил слева. Изгибающий момент $M$ равен сумме моментов всех сил слева относительно центра сечения. Правило знаков (распространённое): $Q \gt 0$, если левая часть сдвигается вверх; $M \gt 0$, если балка прогибается выпуклостью вниз (растянуты нижние волокна).

Балка на двух опорах с силой посередине

Балка длиной $l$ на двух шарнирных опорах, в середине сила $F$. Из симметрии реакции равны $R_A = R_B = F/2$. В сечении на расстоянии $x$ от левой опоры (до середины): $Q = R_A = F/2$, $M = R_A\, x = Fx/2$. Момент максимален в середине: $M_{max} = Fl/4$.

F = 12_000.0   # сила, Н
l = 4.0        # пролёт, м
R_A = R_B = F / 2
print("Реакции опор R_A = R_B =", R_A/1000, "кН")

# значения в характерных сечениях
for x in [0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0]:
    if x < l/2:
        Q = R_A
        M = R_A * x
    elif x == l/2:
        Q = R_A          # слева от середины
        M = R_A * x
    else:
        Q = R_A - F
        M = R_A * x - F * (x - l/2)
    print(f"x={x:.1f} м:  Q={Q/1000:6.2f} кН,  M={M/1000:6.2f} кН·м")
print("M_max = Fl/4 =", F*l/4/1000, "кН·м")

Вывод:

Реакции опор R_A = R_B = 6.0 кН
x=0.0 м:  Q=  6.00 кН,  M=  0.00 кН·м
x=1.0 м:  Q=  6.00 кН,  M=  6.00 кН·м
x=2.0 м:  Q=  6.00 кН,  M= 12.00 кН·м
x=3.0 м:  Q= -6.00 кН,  M=  6.00 кН·м
x=4.0 м:  Q= -6.00 кН,  M=  0.00 кН·м
M_max = Fl/4 = 12.0 кН·м

Момент максимален под силой (в середине), на опорах равен нулю — это типичная картина.

Дифференциальные зависимости

Между распределённой нагрузкой $q$, поперечной силой и моментом есть фундаментальные связи (теорема Журавского):

$$ \frac{dQ}{dx} = -q, \qquad \frac{dM}{dx} = Q $$

Из них следуют практичные правила: где $Q = 0$, момент $M$ экстремален; на участке без нагрузки $Q$ постоянна, $M$ линейна; под равномерной нагрузкой $Q$ линейна, $M$ — парабола.

Как работает под капотом

Связь $dM/dx = Q$ позволяет строить эпюру $M$ интегрированием эпюры $Q$: момент в сечении равен площади эпюры $Q$ слева от него. Это и численный, и графический метод — мы используем его в следующем уроке, считая $M$ накоплением $Q$ по длине.

Частые ошибки

Забывают сначала найти реакции опор — без них эпюры не построить.
Учитывают силы по обе стороны разреза — нужно только по одну сторону.
Ищут $M_{max}$ не там, где $Q$ меняет знак (проходит через ноль).

Итоги

При изгибе действуют поперечная сила $Q$ и изгибающий момент $M$.
$Q$ = сумма поперечных сил слева, $M$ = сумма их моментов слева.
$dM/dx = Q$, $dQ/dx = -q$; где $Q=0$, момент экстремален.
Для силы посередине $M_{max} = Fl/4$.