Нормальные напряжения при изгибе

При изгибе одни волокна балки растягиваются, другие сжимаются, а посередине — нейтральный слой без напряжений.

Нормальное напряжение при изгибе в точке сечения: $\sigma = \dfrac{M\,y}{I}$, где $y$ — расстояние от нейтральной оси.

Картина напряжений

Когда балка прогибается выпуклостью вниз, её нижние волокна удлиняются (растянуты), верхние укорачиваются (сжаты). Между ними проходит нейтральный слой, где напряжения равны нулю; его след в сечении — нейтральная ось, проходящая через центр тяжести. Напряжение линейно растёт с удалением от нейтральной оси:

$$ \sigma = \frac{M\, y}{I} $$

Максимум — в крайних волокнах, где $y = y_{max}$. Через момент сопротивления $W = I/y_{max}$:

$$ \sigma_{max} = \frac{M}{W} $$

Это центральная формула расчёта балок на прочность. Условие прочности: $\sigma_{max} = M_{max}/W \le [\sigma]$.

Числовой расчёт

Балка из прошлого урока: $M_{max} = 22{,}5$ кН·м. Сечение — прямоугольник 80×160 мм (высота 160 вертикально). Проверим прочность при $[\sigma] = 160$ МПа.

M_max = 22_500.0   # Н·м
b, h = 0.080, 0.160
W = b * h**2 / 6           # момент сопротивления, м^3
sigma_max = M_max / W      # макс. напряжение, Па
sigma_adm = 160e6
print("W =", round(W*1e6, 2), "·10^-6 м^3 =", round(W*1e9,0), "мм^3")
print("sigma_max =", round(sigma_max/1e6, 1), "МПа")
print("Прочность обеспечена:", sigma_max <= sigma_adm)
print("Запас n =", round(240e6/sigma_max, 2))

Вывод:

W = 341.33 ·10^-6 м^3 = 341333.0 мм^3
sigma_max = 65.9 МПа
Прочность обеспечена: True
Запас n = 3.64

Подбор сечения

Проектная задача: по $M_{max}$ и $[\sigma]$ найти требуемый момент сопротивления $W \ge M_{max}/[\sigma]$, затем подобрать сечение (для проката — по сортаменту, для прямоугольника — задав соотношение $h/b$).

M_max = 22_500.0
sigma_adm = 160e6
W_req = M_max / sigma_adm        # требуемый момент сопротивления
print("Требуемый W =", round(W_req*1e6, 2), "·10^-6 м^3 =", round(W_req*1e9,0), "мм^3")
# зададим h = 2b для прямоугольника: W = b*(2b)^2/6 = 2b^3/3
b = (3 * W_req / 2) ** (1/3)
print("При h=2b: b =", round(b*1000, 1), "мм, h =", round(2*b*1000, 1), "мм")

Вывод:

Требуемый W = 140.62 ·10^-6 м^3 = 140625.0 мм^3
При h=2b: b = 59.5 мм, h = 119.1 мм

Касательные напряжения при изгибе

Кроме нормальных, при изгибе есть и касательные напряжения от поперечной силы (формула Журавского $\tau = QS/(Ib)$). Они максимальны на нейтральной оси и обычно малы по сравнению с нормальными — для длинных балок ими часто пренебрегают, но для коротких и тонкостенных проверяют.

Как работает под капотом

Формула $\sigma = My/I$ выводится из гипотезы плоских сечений: при изгибе сечения остаются плоскими и поворачиваются, поэтому деформация волокна пропорциональна его удалению $y$ от нейтральной оси. По закону Гука напряжение тоже пропорционально $y$. Условие, что сумма продольных сил по сечению равна нулю, помещает нейтральную ось в центр тяжести; условие, что момент этих сил равен $M$, даёт коэффициент $1/I$.

Частые ошибки

Берут $y$ от края сечения, а не от нейтральной оси.
Подставляют $M$ в кН·м, не переведя в Н·м.
Используют момент инерции $I$ там, где нужен момент сопротивления $W$, и наоборот.

Итоги

$\sigma = My/I$, максимум $\sigma_{max} = M/W$ в крайних волокнах.
Нейтральная ось проходит через центр тяжести, на ней $\sigma = 0$.
Условие прочности: $M_{max}/W \le [\sigma]$; подбор: $W \ge M_{max}/[\sigma]$.
Касательные напряжения по Журавскому обычно малы, но проверяются для коротких балок.