Уравнение упругой линии

Изогнутая ось балки описывается дифференциальным уравнением, связывающим прогиб с изгибающим моментом.

Упругая линия — форма изогнутой оси балки под нагрузкой; её описывает уравнение $E I\, y'' = M(x)$.

От кривизны к прогибу

При изгибе ось балки искривляется. Кривизна изогнутой оси связана с изгибающим моментом: $\dfrac{1}{R} = \dfrac{M}{E I}$, где $R$ — радиус кривизны, $E I$ — жёсткость балки при изгибе. Для малых прогибов кривизна приближённо равна второй производной прогиба $y''$, и получается дифференциальное уравнение упругой линии:

$$ E I\, \frac{d^2 y}{dx^2} = M(x) $$

Здесь $y(x)$ — прогиб (вертикальное перемещение оси), а его производная $y'(x)$ — угол поворота сечения $\theta$. Чтобы найти прогиб, уравнение интегрируют дважды:

$$ E I\, y'(x) = \int M(x)\, dx + C_1, \qquad E I\, y(x) = \iint M(x)\, dx\, dx + C_1 x + C_2 $$

Постоянные $C_1, C_2$ находят из граничных условий: на шарнирной опоре прогиб $y = 0$, в жёсткой заделке $y = 0$ и угол $y' = 0$.

Готовые формулы для типовых случаев

Эти результаты выводятся интегрированием и их полезно знать наизусть:

Прогиб обратно пропорционален $E I$: вдвое более жёсткая балка прогнётся вдвое меньше. И прогиб резко зависит от длины — $l^3$ или $l^4$.

import math
F = 12_000.0     # сила посередине, Н
l = 4.0          # пролёт, м
E = 2.1e11
b, h = 0.080, 0.160
I = b * h**3 / 12          # момент инерции, м^4

f = F * l**3 / (48 * E * I)   # прогиб посередине, м
print("Момент инерции I =", round(I*1e6, 2), "·10^-6 м^4")
print("Прогиб посередине f =", round(f*1000, 3), "мм")
print("Относительный прогиб f/l = 1/", round(l/f, 0))

Вывод:

Момент инерции I = 27.31 ·10^-6 м^4
Прогиб посередине f = 2.79 мм
Относительный прогиб f/l = 1/ 1434.0

Условие жёсткости

Прогиб ограничивают нормой: $f \le [f]$, обычно $[f] = l/200 \ldots l/400$ для перекрытий (чтобы не было заметных провисаний и трещин в отделке). В нашем примере $f/l = 1/1434$ — это жёстче нормы $l/200 \ldots l/400$, запас по жёсткости есть.

Как работает под капотом

Уравнение $EI\,y'' = M$ — приближение точного $1/R = y''/(1+y'^2)^{3/2}$ при малых углах ($y' \ll 1$), когда знаменатель близок к единице. Двойное интегрирование «разворачивает» кривизну в форму оси. Постоянные интегрирования — это начальные угол и прогиб; граничные условия закрепляют балку в пространстве.

Частые ошибки

• Путают $I$ (момент инерции, входит в прогиб) и $W$ (момент сопротивления, для напряжений).
• Забывают, что прогиб зависит от длины как $l^3$–$l^4$ — небольшое увеличение пролёта сильно увеличивает прогиб.
• Не проверяют граничные условия при выводе формул.

Итоги

• Упругая линия описывается $EI\,y'' = M(x)$.
• $y'$ — угол поворота, $y$ — прогиб; находят двойным интегрированием.
• Постоянные определяют из граничных условий ($y=0$ на опорах, $y=y'=0$ в заделке).
• Условие жёсткости: $f \le [f]$, типично $l/200 \ldots l/400$.