Моменты инерции сечения

Момент инерции показывает, как площадь распределена относительно оси — чем дальше материал, тем больше сопротивление изгибу.

Осевой момент инерции $I_x = \int_A y^2\, dA$ — мера сопротивления сечения изгибу относительно оси $x$.

Физический смысл

В формуле стоит квадрат расстояния $y^2$ — значит, материал, удалённый от оси, вносит непропорционально большой вклад. Поэтому балки делают высокими (двутавр, рельс): вынося материал от нейтральной оси, мы резко увеличиваем момент инерции, а с ним — жёсткость и прочность при изгибе. Размерность $I$ — м⁴.

Формулы для простых сечений

Для прямоугольника шириной $b$ и высотой $h$ относительно центральной оси $x$ (горизонтальной):

$$ I_x = \frac{b\,h^3}{12} $$

Высота входит в кубе — вот почему ориентация балки критична: положенная «на ребро» доска жёстче, чем «плашмя». Для круга диаметром $d$:

$$ I_x = \frac{\pi d^4}{64} $$

import math
# Прямоугольник 50 x 100 мм
b, h = 0.050, 0.100
Ix_rect = b * h**3 / 12          # ось вдоль ширины
Iy_rect = h * b**3 / 12          # повёрнутая ориентация
print("Ix прямоугольника (h=100) =", round(Ix_rect*1e12, 1), "мм^4")
print("Iy того же сечения (b=50) =", round(Iy_rect*1e12, 1), "мм^4")
print("Отношение жёсткостей =", round(Ix_rect/Iy_rect, 1), "раза")

# Круг d = 40 мм
d = 0.040
Ix_circ = math.pi * d**4 / 64
print("Ix круга d=40 =", round(Ix_circ*1e12, 1), "мм^4")

Вывод:

Ix прямоугольника (h=100) = 4166666.7 мм^4
Iy того же сечения (b=50) = 1041666.7 мм^4
Отношение жёсткостей = 4.0 раза
Ix круга d=40 = 125663.7 мм^4

Один и тот же прямоугольник, поставленный «на ребро», сопротивляется изгибу в 4 раза сильнее.

Теорема Штейнера (о параллельном переносе)

Чтобы найти момент инерции относительно оси, не проходящей через центр тяжести фигуры, используют теорему Штейнера:

$$ I = I_c + A\, a^2 $$

где $I_c$ — момент инерции относительно собственной центральной оси, $A$ — площадь, $a$ — расстояние между осями. Слагаемое $A a^2$ всегда положительно: дальше от центра — больше момент инерции.

import math
# Момент инерции Т-сечения из прошлого урока относительно общего центра y_c = 67.78 мм
y_c = 67.78
parts = [
    # (b, h, y_center) каждой части, мм
    (20, 80, 40.0),    # стенка
    (100, 20, 90.0),   # полка
]
I_total = 0.0
for b, h, yi in parts:
    A = b * h
    Ic = b * h**3 / 12        # собственный момент инерции
    a = yi - y_c              # перенос до общего центра
    I_total += Ic + A * a**2  # теорема Штейнера
print("Момент инерции Т-сечения Ix =", round(I_total, 0), "мм^4")

Вывод:

Момент инерции Т-сечения Ix = 3142222.0 мм^4

Как работает под капотом

Теорема Штейнера следует из раскрытия квадрата: $\int (y + a)^2 dA = \int y^2 dA + 2a\int y\, dA + a^2\int dA$. Средний интеграл — статический момент относительно центральной оси — равен нулю, остаётся $I_c + A a^2$. Поэтому момент инерции минимален относительно центральной оси.

Частые ошибки

Путают $bh^3/12$ и $hb^3/12$ — в кубе стоит размер, перпендикулярный оси изгиба (высота).
Складывают моменты инерции частей без переноса Штейнера, когда центры частей не совпадают с общим центром.
Берут диаметр в формуле круга вместо проверки степени: $I = \pi d^4/64$.

Итоги

$I = \int y^2 dA$, размерность м⁴; дальний материал вносит больший вклад.
Прямоугольник: $I_x = bh^3/12$; круг: $I_x = \pi d^4/64$.
Теорема Штейнера: $I = I_c + Aa^2$.
Момент инерции минимален относительно центральной оси.