Вывод и смысл формулы Циолковского

Урок выводит уравнение Циолковского и объясняет, почему в нём стоит логарифм.

Уравнение Циолковского связывает приращение скорости ракеты $\Delta V$ с удельным импульсом двигателя и отношением начальной массы к конечной: $\Delta V = I_{уд}\, g \ln\dfrac{m_0}{m_к}$.

Откуда берётся логарифм

В первом уроке мы получили: $m\,\Delta v = u\,\Delta m$. Но масса ракеты не постоянна — она уменьшается, пока горит топливо. Каждая следующая порция газа разгоняет всё более лёгкую ракету. Если просуммировать (проинтегрировать) бесконечно много таких маленьких толчков, сумма даёт натуральный логарифм отношения масс:

$$ \Delta V = u \ln\frac{m_0}{m_к} = I_{уд}\, g \ln\frac{m_0}{m_к} $$

Здесь $m_0$ — стартовая масса (ракета с топливом), $m_к$ — конечная (когда топливо кончилось). Отношение $\dfrac{m_0}{m_к}$ называют массовым отношением.

Что это значит на практике

Логарифм — суровый закон. Чтобы удвоить $\Delta V$, мало удвоить запас топлива: нужно возвести массовое отношение в квадрат. Это центральная боль ракетостроения: запас скорости растёт медленно, а масса топлива — быстро.

Первый расчёт

Пусть стартовая масса 50 тонн, конечная (сухая) 20 тонн, удельный импульс 300 с. Сколько скорости наберёт ракета?

import math

Isp = 300.0     # удельный импульс, с
g = 9.80665
m0 = 50000.0    # стартовая масса, кг
mk = 20000.0    # конечная масса, кг

u = Isp * g
ratio = m0 / mk
dV = u * math.log(ratio)
print("Скорость истечения:", round(u), "м/с")
print("Массовое отношение:", round(ratio, 2))
print("Прирост скорости dV:", round(dV), "м/с")

Вывод:

Скорость истечения: 2942 м/с
Массовое отношение: 2.5
Прирост скорости dV: 2696 м/с

Как работает под капотом

Формула предполагает идеальный случай: тяга вдоль направления движения, нет гравитации, нет сопротивления воздуха. Поэтому $\Delta V$ из уравнения Циолковского — это идеальный, «бюджетный» прирост скорости. Реальный полёт всегда отъедает часть на гравитационные и аэродинамические потери (раздел 7). Тем не менее именно по этому уравнению планируют миссии: считают, сколько $\Delta V$ нужно на каждый манёвр, и складывают в «бюджет скорости».

Частые ошибки

Складывать массы вместо деления. В формулу входит именно отношение $m_0/m_к$, а не разность.
Забывать про логарифм. Удвоение топлива не удваивает $\Delta V$ — рост гораздо медленнее.
Считать $m_к$ только сухой массой ракеты. В $m_к$ входит и полезная нагрузка, и остаток невыработанного топлива.

Итоги

$\Delta V = I_{уд}\, g \ln\dfrac{m_0}{m_к}$ — фундамент ракетной техники.
Логарифм означает: прирост скорости растёт медленно с ростом топлива.
Формула даёт идеальный $\Delta V$ без учёта потерь.