Массовое отношение и доля топлива

Урок переворачивает формулу Циолковского: по нужной скорости считаем, сколько топлива придётся взять.

Массовое отношение $\dfrac{m_0}{m_к}$ — во сколько раз ракета с топливом тяжелее пустой; именно оно определяет достижимый $\Delta V$.

Обратная задача

Чаще инженер знает, какое $\Delta V$ нужно (например, 9.4 км/с для выхода на низкую орбиту с учётом потерь), и хочет понять, какое массовое отношение это требует. Перевернём уравнение Циолковского:

$$ \frac{m_0}{m_к} = \exp\!\left(\frac{\Delta V}{I_{уд}\, g}\right) $$

А доля топлива в стартовой массе тогда равна $1 - \dfrac{m_к}{m_0}$.

Расчёт для выхода на орбиту

import math

dV = 9400.0     # нужный прирост скорости, м/с
Isp = 300.0     # удельный импульс, с
g = 9.80665

u = Isp * g
ratio = math.exp(dV / u)
fuel_fraction = 1 - 1 / ratio
print("Массовое отношение:", round(ratio, 2))
print("Доля топлива:", round(fuel_fraction * 100, 1), "%")

Вывод:

Массовое отношение: 24.41
Доля топлива: 95.9 %

Почти 96% стартовой массы — это топливо. На конструкцию и полезный груз остаётся жалкие 4%. Вот почему ракеты — это огромные баки с крошечной кабиной наверху.

Чувствительность к удельному импульсу

Маленький прирост удельного импульса резко облегчает ракету. Сравним керосин (300 с) и водород (450 с) для того же $\Delta V$:

import math

dV = 9400.0
g = 9.80665
for isp in [300, 380, 450]:
    u = isp * g
    ratio = math.exp(dV / u)
    frac = (1 - 1 / ratio) * 100
    print("Isp =", isp, "с -> массовое отношение", round(ratio, 2),
          "| топлива", round(frac, 1), "%")

Вывод:

Isp = 300 с -> массовое отношение 24.41 | топлива 95.9 %
Isp = 380 с -> массовое отношение 12.61 | топлива 92.1 %
Isp = 450 с -> массовое отношение 8.46 | топлива 88.2 %

Как работает под капотом

Конструкция ракеты имеет структурную долю — массу баков, двигателей, корпуса. Если требуемое массовое отношение превышает то, что физически достижимо одной ступенью (обычно 8–12), одна ступень уже не справляется: баки не могут быть настолько лёгкими. Это прямой мостик к идее многоступенчатости (раздел 3).

Частые ошибки

• Брать долю топлива как $\Delta V / u$. Доля топлива — это $1 - e^{-\Delta V/u}$, а не линейное отношение.
• Игнорировать массу полезной нагрузки. Она входит в $m_к$ и снижает достижимый $\Delta V$.
• Считать, что 90% топлива — это «слишком много». Для орбиты это норма; именно поэтому одна ступень редко достаёт до орбиты.

Итоги

• По нужному $\Delta V$ массовое отношение находится как $e^{\Delta V / (I_{уд} g)}$.
• Для орбиты доля топлива доходит до 90–96%.
• Рост удельного импульса резко снижает требуемое топливо.
• Если массовое отношение нереально велико — пора делить ракету на ступени.