Законы Кеплера и период обращения

Урок про три закона Кеплера и формулу периода, по которой строят геостационарные и спутниковые орбиты.

Третий закон Кеплера связывает период обращения $T$ с большой полуосью орбиты $a$: квадрат периода пропорционален кубу полуоси, $T^2 \propto a^3$.

Три закона Кеплера

Иоганн Кеплер вывел их из наблюдений ещё до Ньютона:

• Первый: орбиты планет — эллипсы, в одном из фокусов которых Солнце (а для спутников — планета).
• Второй: радиус-вектор заметает равные площади за равные времена — отсюда быстрый перигей и медленный апогей.
• Третий: $T^2 \propto a^3$ — чем дальше орбита, тем дольше период, причём очень быстро.

Формула периода

В точной форме третий закон даёт период через гравитационный параметр:

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}} $$

import math

mu = 3.986e14
R = 6.371e6
for name, h_km in [("МКС 400 км", 400), ("GPS ~20200 км", 20200), ("ГЕО 35786 км", 35786)]:
    a = R + h_km * 1000
    T = 2 * math.pi * math.sqrt(a ** 3 / mu)
    print(name, "-> период", round(T), "с =", round(T / 3600, 2), "ч")

Вывод:

МКС 400 км -> период 5545 с = 1.54 ч
GPS ~20200 км -> период 43075 с = 11.97 ч
ГЕО 35786 км -> период 86147 с = 23.93 ч

Геостационарная орбита

Самое красивое следствие: есть высота, на которой период обращения равен суткам (точнее, звёздным суткам — 23 ч 56 мин). Спутник на ней «висит» над одной точкой экватора — это геостационарная орбита, дом для спутников связи и телевидения. Найдём её высоту, перевернув формулу периода.

import math

mu = 3.986e14
R = 6.371e6
T = 86164.0   # звёздные сутки, с

a = (mu * T ** 2 / (4 * math.pi ** 2)) ** (1 / 3)
h = a - R
print("Большая полуось ГЕО:", round(a / 1000), "км")
print("Высота над поверхностью:", round(h / 1000), "км")

Вывод:

Большая полуось ГЕО: 42164 км
Высота над поверхностью: 35793 км

Как работает под капотом

Третий закон справедлив для любого центрального тела, нужно лишь подставить его $GM$. Так по периоду спутника измеряют массу планеты, а по периодам лун — массы планет-гигантов. Кеплер описал «что», Ньютон объяснил «почему»: закон всемирного тяготения порождает все три закона Кеплера как следствие.

Частые ошибки

• Путать сутки солнечные и звёздные. Геостационар настроен на звёздные сутки (23 ч 56 мин), а не на 24 ч.
• Брать высоту вместо большой полуоси. В формулу периода входит $a$ — расстояние от центра планеты.
• Думать, что период линейно зависит от высоты. Зависимость — степень 3/2, поэтому растёт нелинейно.

Итоги

• Три закона Кеплера: эллипсы, равные площади, $T^2\propto a^3$.
• Период: $T=2\pi\sqrt{a^3/GM}$.
• Геостационарная орбита — на высоте ~35 800 км, период равен звёздным суткам.
• По периоду спутника можно измерить массу планеты.