Первая и вторая космические скорости

Урок выводит первую и вторую космические скорости и считает их для Земли.

Первая космическая скорость — скорость, при которой тело движется по круговой орбите вблизи поверхности; вторая (скорость убегания) — минимальная скорость, чтобы навсегда покинуть притяжение тела.

Что значит «быть на орбите»

Орбита — это не «выключенная гравитация», а вечное падение мимо планеты. Тело падает к Земле, но движется вбок так быстро, что поверхность уходит из-под него с той же скоростью. Чтобы это получалось, центростремительное ускорение должно равняться гравитационному: $\dfrac{v^2}{r} = \dfrac{GM}{r^2}$. Отсюда круговая (первая космическая) скорость:

$$ v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r}} $$

где $GM$ — гравитационный параметр тела. Для Земли $GM \approx 3.986\cdot10^{14}$ м³/с².

Скорость убегания

Чтобы улететь бесконечно далеко (где скорость стремится к нулю), нужно, чтобы кинетическая энергия покрыла гравитационную потенциальную яму. Приравняв энергии, получаем вторую космическую скорость:

$$ v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{2}\, v_1 $$

Она в $\sqrt{2}\approx 1.41$ раза больше круговой. Запомнить просто: «убежать» примерно на 41% дороже, чем «крутиться».

Считаем для Земли

import math

mu = 3.986e14       # гравитационный параметр Земли, м^3/с^2
R = 6.371e6         # радиус Земли, м

v1 = math.sqrt(mu / R)
v2 = math.sqrt(2 * mu / R)
print("Первая космическая (у поверхности):", round(v1), "м/с =", round(v1/1000,2), "км/с")
print("Вторая космическая (убегание):     ", round(v2), "м/с =", round(v2/1000,2), "км/с")
print("Отношение v2/v1:", round(v2 / v1, 3))

Вывод:

Первая космическая (у поверхности): 7910 м/с = 7.91 км/с
Вторая космическая (убегание):      11186 м/с = 11.19 км/с
Отношение v2/v1: 1.414

Скорость на реальной орбите

Спутники летают не у поверхности, а выше, где радиус $r$ больше, а скорость меньше. На высоте 400 км (МКС) круговая скорость уже не 7.91, а около 7.67 км/с.

import math

mu = 3.986e14
R = 6.371e6
for h_km in [0, 400, 2000, 20000]:
    r = R + h_km * 1000
    v = math.sqrt(mu / r)
    print("Высота", h_km, "км -> круговая скорость", round(v/1000, 2), "км/с")

Вывод:

Высота 0 км -> круговая скорость 7.91 км/с
Высота 400 км -> круговая скорость 7.67 км/с
Высота 2000 км -> круговая скорость 6.9 км/с
Высота 20000 км -> круговая скорость 3.89 км/с

Чем выше орбита, тем медленнее движется спутник — важное и сначала контринтуитивное свойство.

Как работает под капотом

Заметьте: в формулу скорости не входит масса самого спутника. Кирпич и станция на одной высоте летят с одинаковой скоростью — гравитация ускоряет все тела одинаково. Поэтому «вес» на орбите ни при чём; важны только $GM$ и радиус.

Частые ошибки

Думать, что на орбите нет гравитации. Она есть и почти такая же, как у земли; невесомость — это свободное падение, а не отсутствие притяжения.
Считать, что выше — значит быстрее. Наоборот: чем выше орбита, тем меньше скорость.
Включать массу спутника в формулу. Орбитальная скорость от неё не зависит.

Итоги

$v_1=\sqrt{GM/r}$ — круговая (первая космическая) скорость.
$v_2=\sqrt{2GM/r}=\sqrt2\,v_1$ — скорость убегания.
Чем выше орбита, тем меньше орбитальная скорость.
Орбитальная скорость не зависит от массы спутника.