Параметры двигателя в расчёте

Урок сводит параметры двигателя в один расчёт: от запаса топлива до времени работы и набираемого ΔV.

Время работы двигателя — отношение запаса топлива к секундному расходу: $t_{раб} = \dfrac{m_{топл}}{\dot m}$.

Связываем всё вместе

У нас есть набор величин: тяга $F$, удельный импульс $I_{уд}$, запас топлива $m_{топл}$. Из них выводится всё остальное. Скорость истечения $u = I_{уд} g$. Расход $\dot m = F / u$. Время работы $t = m_{топл} / \dot m$. А прирост скорости — по Циолковскому.

import math

g = 9.80665
F = 900000.0       # тяга, Н
Isp = 311.0        # удельный импульс, с
m_dry = 8000.0     # сухая масса ступени, кг
m_fuel = 70000.0   # масса топлива, кг

u = Isp * g
mdot = F / u
t_burn = m_fuel / mdot
m0 = m_dry + m_fuel
mk = m_dry
dV = u * math.log(m0 / mk)

print("Скорость истечения:", round(u), "м/с")
print("Расход топлива:", round(mdot, 1), "кг/с")
print("Время работы:", round(t_burn), "с")
print("Массовое отношение:", round(m0 / mk, 2))
print("Прирост скорости dV:", round(dV), "м/с")

Вывод:

Скорость истечения: 3050 м/с
Расход топлива: 295.1 кг/с
Время работы: 237 с
Массовое отношение: 9.75
Прирост скорости dV: 6958 м/с

Проверка тяговооружённости в полёте

По мере выгорания топлива масса падает, а тяга почти постоянна — значит ускорение растёт. Посмотрим, как меняется перегрузка от старта к выгоранию.

import math

g = 9.80665
F = 900000.0
m0 = 78000.0
mk = 8000.0

a_start = F / m0 - g
a_end = F / mk - g
print("Ускорение в начале:", round(a_start, 2), "м/с^2",
      "(", round((a_start + g) / g, 2), "g тяги )")
print("Ускорение в конце: ", round(a_end, 2), "м/с^2",
      "(", round((a_end + g) / g, 2), "g тяги )")

Вывод:

Ускорение в начале: 1.73 м/с^2 ( 1.18 g тяги )
Ускорение в конце:  102.71 м/с^2 ( 11.48 g тяги )

К концу работы перегрузка вырастает в разы — поэтому двигатели иногда дросселируют, чтобы не перегрузить конструкцию и экипаж.

Как работает под капотом

В реальности тяга и удельный импульс слегка меняются с высотой (вакуумные значения выше уровневых). Расход регулируется насосами. Конструкция рассчитывается на максимальную перегрузку, которая обычно приходится на конец работы ступени, когда ракета самая лёгкая. Дросселирование к концу полёта — типичный приём для пилотируемых ракет.

Частые ошибки

Считать ускорение постоянным. Масса убывает, поэтому при почти постоянной тяге ускорение в конце работы заметно больше.
Брать расход как $F/I_{уд}$. Расход — это $F/(I_{уд} g)$, не забывайте про $g$.
Путать тяговооружённость и перегрузку. Перегрузка учитывает ещё и вычет $g$ при вертикальном полёте.

Итоги

Из тяги, удельного импульса и запаса топлива выводятся расход, время работы и $\Delta V$.
Расход равен $F/(I_{уд} g)$.
К концу работы ступени ускорение и перегрузка резко растут.
Дросселирование снижает пиковые перегрузки.