Сопло и скорость истечения

Урок объясняет, как сопло превращает давление и тепло в скорость направленного потока.

Сопло Лаваля — сужающе-расширяющийся канал, который разгоняет газ из камеры сгорания до сверхзвуковых скоростей, преобразуя тепловую энергию в кинетическую.

Зачем нужно сопло

В камере сгорания газ горячий и под огромным давлением, но почти неподвижный. Чтобы он создавал тягу, его надо разогнать в одном направлении. Эту работу делает сопло. Сначала канал сужается, газ ускоряется до скорости звука в самом узком месте (критическом сечении), а затем канал расширяется — и в сверхзвуковом потоке расширение продолжает ускорять газ (в этом парадокс сверхзвука).

Скорость истечения и расширение

Идеализированная скорость истечения растёт с температурой в камере $T_к$ и со степенью расширения газа. Качественно её можно выразить так:

$$ u \approx \sqrt{\frac{2\gamma}{\gamma-1}\,\frac{R T_к}{M}\left(1 - \left(\frac{p_e}{p_к}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\right)} $$

где $\gamma$ — показатель адиабаты, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M$ — молярная масса продуктов, $p_к$ и $p_e$ — давления в камере и на срезе сопла. Не нужно зубрить формулу — важны выводы: горячее и лёгкие молекулы и сильное расширение дают большую скорость.

import math

gamma = 1.2
R = 8.314          # Дж/(моль·К)
Tk = 3300.0        # температура в камере, К
M = 0.022          # молярная масса продуктов, кг/моль
pk = 7.0e6         # давление в камере, Па
pe = 1.0e5         # давление на срезе, Па

term = 1 - (pe / pk) ** ((gamma - 1) / gamma)
u = math.sqrt(2 * gamma / (gamma - 1) * R * Tk / M * term)
print("Оценка скорости истечения:", round(u), "м/с")
print("Эквивалентный удельный импульс:", round(u / 9.80665), "с")

Вывод:

Оценка скорости истечения: 2952 м/с
Эквивалентный удельный импульс: 301 с

Согласование сопла с высотой

Идеально, когда давление на срезе сопла равно атмосферному. У земли атмосфера плотная — выгодно короткое сопло. В вакууме давить снаружи нечему — выгодно длинное, сильно расширяющее сопло. Поэтому у вакуумных двигателей верхних ступеней сопла огромные и «колоколом», а у двигателей первой ступени — компактнее.

Как работает под капотом

Если сопло слишком длинное для текущей высоты, поток «переотрывается» от стенок и теряет эффективность (перерасширение). Если слишком короткое — газ не успевает разогнаться (недорасширение). Инженеры подбирают степень расширения под основной участок работы ступени. Существуют и адаптивные концепции (аэроспайк), но в эксплуатации преобладает классический колокол.

Частые ошибки

Думать, что расширение замедляет газ. В дозвуковой части — да, но за критическим сечением в сверхзвуке расширение ускоряет поток.
Считать одно сопло оптимальным на всех высотах. Оптимум зависит от внешнего давления, поэтому сопла разные у разных ступеней.
Игнорировать молярную массу. Лёгкие продукты сгорания (вода у водорода) дают больше скорости при той же температуре.

Итоги

Сопло Лаваля разгоняет газ до сверхзвука, превращая тепло в скорость.
Скорость истечения растёт с температурой, степенью расширения и падает с молярной массой.
Оптимальное сопло согласовано с давлением на рабочей высоте.