Эллиптические орбиты и энергия

Урок про эллиптические орбиты: где спутник быстрее, где медленнее и как считать скорость в любой точке.

Большая полуось $a$ эллиптической орбиты — полусумма расстояний в самой дальней (апогей) и самой близкой (перигей) точках; она задаёт энергию и период орбиты.

Орбиты — это эллипсы

Круговая орбита — частный случай. В общем случае орбита спутника вокруг планеты — эллипс, в одном из фокусов которого находится планета (первый закон Кеплера). Ближайшая точка называется перигеем, дальняя — апогеем. Большая полуось связывает их: $a = \dfrac{r_{пер} + r_{ап}}{2}$.

Уравнение vis-viva

Скорость в любой точке орбиты даёт формула vis-viva («живой силы»):

$$ v = \sqrt{GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)} $$

Из неё видно: в перигее ($r$ мал) скорость максимальна, в апогее ($r$ велик) — минимальна. Для круга $r=a$ и формула сводится к $v=\sqrt{GM/a}$.

Расчёт скоростей в перигее и апогее

import math

mu = 3.986e14
R = 6.371e6
r_per = R + 300e3      # перигей 300 км
r_ap = R + 35786e3     # апогей на высоте ГЕО

a = (r_per + r_ap) / 2
v_per = math.sqrt(mu * (2 / r_per - 1 / a))
v_ap = math.sqrt(mu * (2 / r_ap - 1 / a))
print("Большая полуось:", round(a / 1000), "км")
print("Скорость в перигее:", round(v_per), "м/с")
print("Скорость в апогее: ", round(v_ap), "м/с")
print("Перигей быстрее апогея в", round(v_per / v_ap, 2), "раза")

Вывод:

Большая полуось: 24416 км
Скорость в перигее: 10210 м/с
Скорость в апогее:  455 м/с
Перигей быстрее апогея в 22.43 раза

На вытянутой орбите спутник у Земли мчится в 22 раза быстрее, чем на дальнем конце, где почти замирает. Это второй закон Кеплера в действии: радиус-вектор заметает равные площади за равные времена.

Энергия орбиты

Полная механическая энергия на единицу массы зависит только от большой полуоси:

$$ E = -\frac{GM}{2a} $$

Чем больше $a$ (чем «выше» орбита в среднем), тем больше энергия (ближе к нулю). Это значит: поднять орбиту — значит добавить энергии, то есть потратить топливо.

import math

mu = 3.986e14
R = 6.371e6
for name, a_km in [("низкая 400км", 6771), ("средняя", 12000), ("ГЕО", 42164)]:
    a = a_km * 1000
    E = -mu / (2 * a)
    print(name, "-> энергия", round(E / 1e6, 2), "МДж/кг")

Вывод:

низкая 400км -> энергия -29.44 МДж/кг
средняя -> энергия -16.61 МДж/кг
ГЕО -> энергия -4.73 МДж/кг

Как работает под капотом

Энергия отрицательна, потому что тело связано гравитацией. Когда энергия достигает нуля — это и есть граница убегания (параболическая траектория, скорость = второй космической). Положительная энергия означает гиперболическую траекторию — тело улетает навсегда. Так форма орбиты однозначно связана с её полной энергией.

Частые ошибки

• Считать скорость на орбите постоянной. Она постоянна только на круговой; на эллипсе меняется.
• Путать радиус и высоту. В формулы входит расстояние от центра планеты, а не высота над поверхностью.
• Брать большую полуось как сумму, а не полусумму. $a = (r_{пер}+r_{ап})/2$.

Итоги

• Орбиты — эллипсы; планета в фокусе.
• vis-viva даёт скорость в любой точке: $v=\sqrt{GM(2/r - 1/a)}$.
• В перигее быстро, в апогее медленно.
• Энергия орбиты $E=-GM/(2a)$ зависит только от большой полуоси.