Гомановский переход

Урок про самый экономичный способ перейти с одной круговой орбиты на другую — гомановский эллипс.

Гомановский переход — манёвр перехода между двумя круговыми орбитами по половине эллипса, касающегося обеих; требует двух импульсов скорости и в большинстве случаев минимален по затратам топлива.

Идея манёвра

Нельзя «свернуть» на другую орбиту мгновенно. Гоман предложил элегантный путь: разогнаться в одной точке так, чтобы орбита вытянулась в эллипс, касающийся целевой орбиты; долететь до апогея этого эллипса; там добавить скорости, чтобы эллипс «скруглился» в новую орбиту. Два включения двигателя — два импульса $\Delta V$.

Два импульса

Пусть переходим с круговой орбиты радиуса $r_1$ на круговую радиуса $r_2$. Большая полуось переходного эллипса $a = (r_1+r_2)/2$. Скорости считаем по vis-viva. Первый импульс в перигее: $\Delta V_1 = v_{пер} - v_1$. Второй в апогее: $\Delta V_2 = v_2 - v_{ап}$.

import math

mu = 3.986e14
R = 6.371e6
r1 = R + 200e3        # низкая орбита 200 км
r2 = R + 35786e3      # геостационарная высота

v1 = math.sqrt(mu / r1)
v2 = math.sqrt(mu / r2)
a = (r1 + r2) / 2
v_per = math.sqrt(mu * (2 / r1 - 1 / a))
v_ap = math.sqrt(mu * (2 / r2 - 1 / a))

dV1 = v_per - v1
dV2 = v2 - v_ap
print("Круговая на 200 км:", round(v1), "м/с")
print("Импульс 1 (разгон в перигее):", round(dV1), "м/с")
print("Импульс 2 (разгон в апогее):", round(dV2), "м/с")
print("Суммарный ΔV перехода на ГЕО:", round(dV1 + dV2), "м/с")

Вывод:

Круговая на 200 км: 7788 м/с
Импульс 1 (разгон в перигее): 2457 м/с
Импульс 2 (разгон в апогее): 1478 м/с
Суммарный ΔV перехода на ГЕО: 3934 м/с

Чтобы поднять спутник с низкой орбиты на геостационарную, нужно почти 4 км/с — отдельно от тех 9.4 км/с, что ушли на выход на низкую орбиту. Поэтому ГЕО-спутники дороги в выведении.

Время перехода

Перелёт занимает ровно половину периода переходного эллипса:

$$ t_{пер} = \pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}} $$

import math

mu = 3.986e14
R = 6.371e6
r1 = R + 200e3
r2 = R + 35786e3
a = (r1 + r2) / 2

t = math.pi * math.sqrt(a ** 3 / mu)
print("Время гомановского перехода:", round(t), "с =", round(t / 3600, 2), "ч")

Вывод:

Время гомановского перехода: 18924 с = 5.26 ч

Как работает под капотом

Импульсы прикладывают по касательной к орбите (вдоль скорости) — так разгон максимально эффективен. Первый импульс делают строго в той точке, которая станет перигеем переходного эллипса; второй — точно в апогее. Ошибка в направлении или времени включения «размазывает» орбиту и удорожает коррекцию. Для очень больших отношений радиусов ($r_2/r_1 > 11.94$) экономичнее становится биэллиптический переход с тремя импульсами — но это уже тонкость.

Частые ошибки

• Думать, что разгон поднимает орбиту «сразу везде». Импульс в одной точке меняет противоположную сторону орбиты: разгон в перигее поднимает апогей.
• Складывать импульсы по модулю без учёта направления. Оба гомановских импульса — на разгон (по скорости), поэтому здесь они складываются; но в общем случае направление важно.
• Игнорировать время. Переход на ГЕО длится часы — для миссий это существенно.

Итоги

• Гомановский переход — два импульса по касательной через половину эллипса.
• $\Delta V_1$ в перигее поднимает апогей, $\Delta V_2$ в апогее скругляет орбиту.
• Подъём с низкой орбиты на ГЕО стоит около 3.9 км/с и длится ~5 часов.
• Для очень больших переходов выгоднее биэллиптическая схема.