Смена высоты и наклонения орбиты

Урок про разные виды смены орбиты и про то, почему повернуть плоскость орбиты так дорого.

Наклонение орбиты — угол между плоскостью орбиты и плоскостью экватора; его изменение требует «развернуть» вектор скорости и стоит особенно много топлива.

Подъём и снижение

Поднять орбиту — добавить энергии (разгон в нужной точке). Снизить — отнять (торможение, импульс против движения). Снижение часто делают, чтобы войти в атмосферу для возвращения: достаточно слегка опустить перигей в плотные слои, и атмосфера доделает остальное (раздел 8). Считается всё той же vis-viva и логикой двух импульсов.

import math

mu = 3.986e14
R = 6.371e6
r_low = R + 200e3       # текущая круговая 200 км
r_target = R + 800e3    # поднимаемся до 800 км

v1 = math.sqrt(mu / r_low)
v2 = math.sqrt(mu / r_target)
a = (r_low + r_target) / 2
v_per = math.sqrt(mu * (2 / r_low - 1 / a))
v_ap = math.sqrt(mu * (2 / r_target - 1 / a))
dV = (v_per - v1) + (v2 - v_ap)
print("Подъём с 200 до 800 км стоит:", round(dV), "м/с")

Вывод:

Подъём с 200 до 800 км стоит: 333 м/с

Скромные 333 м/с — небольшие изменения высоты дёшевы по сравнению с большими переходами.

Почему смена наклонения так дорога

Изменить наклонение — значит повернуть вектор орбитальной скорости на угол $\Delta i$, не меняя его величины. Это как затормозить и снова разогнаться в новом направлении. Затраты:

$$ \Delta V = 2 v \sin\!\frac{\Delta i}{2} $$

где $v$ — орбитальная скорость. На низкой орбите $v\approx 7.7$ км/с, поэтому даже небольшой поворот стоит огромного $\Delta V$.

import math

v = 7670.0   # орбитальная скорость на низкой орбите, м/с
for di_deg in [1, 10, 30, 60]:
    di = math.radians(di_deg)
    dV = 2 * v * math.sin(di / 2)
    print("Поворот на", di_deg, "градусов ->", round(dV), "м/с")

Вывод:

Поворот на 1 градусов -> 134 м/с
Поворот на 10 градусов -> 1337 м/с
Поворот на 30 градусов -> 3970 м/с
Поворот на 60 градусов -> 7670 м/с

Поворот всего на 30° стоит почти как весь гомановский переход на ГЕО! Поэтому ракету стараются запускать сразу в плоскость нужной орбиты, а смену наклонения, если она нужна, делают на большой высоте, где орбитальная скорость меньше.

Как работает под капотом

Стартовая площадка задаёт минимально достижимое наклонение: оно не может быть меньше широты космодрома (если не тратить лишнее $\Delta V$). Поэтому экваториальные космодромы выгодны для геостационарных запусков. А ещё хитрость: совмещать смену наклонения с подъёмом орбиты в апогее, где скорость мала, — тогда поворот обходится дешевле.

Частые ошибки

Считать смену наклонения дешёвой. Это один из самых дорогих манёвров из-за большой орбитальной скорости.
Менять наклонение на низкой орбите. Выгоднее на высокой, где $v$ меньше.
Игнорировать широту космодрома. Она ставит нижнюю границу наклонения без доплат.

Итоги

Подъём/снижение высоты считается по vis-viva и двум импульсам.
Небольшие изменения высоты дёшевы.
Смена наклонения стоит $2v\sin(\Delta i/2)$ и очень дорога на низкой орбите.
Наклонение выгодно менять там, где орбитальная скорость мала (в апогее).