Текстовые задачи на работу и смеси

Последний тип текстовых задач в этом разделе — задачи на совместную работу и на смеси. У них разные сюжеты, но общий приём: всё удобно считать в долях от целого, а не в абсолютных числах.

Обе разновидности задач объединяет то, что в условии редко дают то число, которое нужно подставить в ответ напрямую — сначала приходится ввести вспомогательную величину (долю работы за час или массу вещества в растворе) и только через неё выйти на итог. Именно поэтому школьники чаще ошибаются не в арифметике, а в самом первом шаге — в выборе того, что удобно принять за единицу.

Задачи на совместную работу

Здесь работает та же логика, что и в задачах на движение, только вместо расстояния — «объём работы», который удобно принять за единицу (за одно целое задание, один бассейн, один текст для перепечатки).

Если некто выполняет всю работу за $t$ часов, то за один час он выполняет долю работы:

$$ \text{производительность} = \frac{1}{t} $$

Когда два исполнителя работают вместе, их производительности (доли работы за час) складываются — как скорости при встречном движении.

Пример 1: две трубы наполняют бассейн

Первая труба наполняет бассейн за 10 часов, вторая — за 15 часов. За сколько часов бассейн наполнится, если открыть обе трубы одновременно?

Производительность первой трубы — $\dfrac{1}{10}$ бассейна в час, второй — $\dfrac{1}{15}$ бассейна в час. Вместе за час они наполняют:

$$ \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} $$

Значит, за один час наполняется $\dfrac{1}{6}$ часть бассейна. Чтобы найти время на весь бассейн, делим единицу на производительность:

$$ t = 1 : \frac{1}{6} = 6 \text{ ч} $$

Ответ: 6 часов. Обратите внимание — это меньше, чем время работы каждой трубы по отдельности, и так должно быть всегда: вместе работать быстрее, чем одному.

Пример 2: работали вместе, потом одна доделывает

Первая бригада выполняет заказ за 12 дней, вторая — за 6 дней. Обе бригады работали вместе 2 дня, после чего вторая бригада уехала, и первая доделывала заказ одна. Сколько дней первая бригада работала одна?

Производительности: первая бригада — $\dfrac{1}{12}$ заказа в день, вторая — $\dfrac{1}{6}$ заказа в день. Вместе за день они делают:

$$ \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $$

За 2 дня совместной работы выполнено:

$$ \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2} $$

Осталось выполнить ещё половину заказа — $1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$. Первая бригада делает $\dfrac{1}{12}$ заказа в день, значит на оставшуюся половину ей потребуется:

$$ \frac{1}{2} : \frac{1}{12} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ дней} $$

Ответ: 6 дней. Главное здесь — не забыть вычесть уже сделанную часть работы, прежде чем считать время на остаток, это самый частый пропущенный шаг.

Обратите внимание на важную деталь: производительность — это не скорость выполнения конкретной операции, а доля от ВСЕЙ работы, выполняемая за единицу времени. Если сравнивать с задачами на движение, роль «расстояния» здесь играет целая работа, принятая за 1, а роль «скорости» — производительность. Эта аналогия помогает не запутаться, если вы уже уверенно решаете задачи на движение из предыдущего урока.

Задачи на смеси и сплавы

В задачах на смеси считают не саму массу вещества, а долю (концентрацию) одного компонента в общей массе. Если в растворе массой $m$ содержится вещество с концентрацией $p\\%$, то масса самого вещества равна:

$$ m_{вещества} = m \cdot \frac{p}{100} $$

При смешивании двух растворов масса чистого вещества складывается, а итоговую концентрацию находят делением суммарной массы вещества на суммарную массу смеси.

Пример 3: сплавили два сплава

Сплав массой 300 г содержит 40% меди, сплав массой 200 г содержит 15% меди. Сплавы сплавили вместе. Сколько процентов меди в получившемся сплаве?

Считаем массу чистой меди в каждом сплаве отдельно:

$$ m_1 = 300 \cdot \frac{40}{100} = 120 \text{ г}, \qquad m_2 = 200 \cdot \frac{15}{100} = 30 \text{ г} $$

Суммарная масса меди: $120 + 30 = 150$ г. Суммарная масса всего сплава: $300 + 200 = 500$ г. Итоговая концентрация меди:

$$ p = \frac{150}{500} \cdot 100\\% = 30\\% $$

Ответ: 30%. Обратите внимание, что 30% — это не среднее арифметическое 40% и 15% (которое было бы 27,5%), потому что массы сплавов разные и «весят» по-разному в итоговой смеси.

Пример 4: разбавили раствор водой

Имеется 400 г раствора соли с концентрацией 5%. В него добавили 100 г чистой воды. Найдите новую концентрацию соли.

Масса соли не меняется при добавлении воды — меняется только масса всего раствора. Масса соли:

$$ m_{соли} = 400 \cdot \frac{5}{100} = 20 \text{ г} $$

Новая масса раствора: $400 + 100 = 500$ г. Новая концентрация:

$$ p = \frac{20}{500} \cdot 100\\% = 4\\% $$

Ответ: 4%. Здесь легко ошибиться и пересчитать концентрацию соли от старой массы раствора (400 г) вместо новой (500 г) — а это разные числа.

Частые ошибки

В задачах на работу — забыть, что производительность считается от целой работы, принятой за единицу, и не путать «время работы» с «долей выполненной работы за это время».

Ещё одна ловушка — складывать напрямую дни или часы вместо производительностей. Если один работник делает работу за 4 дня, а другой — за 12, то вместе они закончат НЕ за среднее арифметическое (8 дней) и не за сумму (16 дней), а быстрее, чем оба по отдельности — ровно потому что производительности складываются, а не времена.

В задачах на смеси — путать проценты одного компонента с общей массой смеси, а также усреднять проценты напрямую без учёта разных масс исходных растворов.

И в обоих типах — не проверять итоговый ответ на здравый смысл: время совместной работы должно быть меньше, чем у самого быстрого исполнителя по отдельности, а концентрация смеси должна лежать строго между концентрациями исходных компонентов.