Текстовые задачи на движение

Задачи на движение пугают длинным условием, но у них есть общий скелет: у нас есть объекты, которые движутся с какими-то скоростями, и нужно связать расстояние, скорость и время одним уравнением. Разберём три главных типа: встречное движение, движение вдогонку и движение по реке.

Такие задачи не просто «придуманы для мучений» — это упрощённая модель реальных ситуаций: два поезда идут навстречу друг другу по расписанию, лодка идёт по реке с течением, а курьер должен догнать другого курьера, который выехал раньше. Умение быстро сообразить, какие скорости нужно сложить, а какие вычесть, пригодится не только на экзамене, но и в жизни — например, чтобы прикинуть, успеете ли вы на встречу, если выехали позже друга.

Базовая формула

Всё держится на одном соотношении между расстоянием $s$, скоростью $v$ и временем $t$:

$$ s = v \cdot t $$

Из неё легко выразить любую из трёх величин, если известны две другие: $t = \dfrac{s}{v}$ и $v = \dfrac{s}{t}$. Вся сложность текстовых задач — не в этой формуле, а в том, чтобы понять, какие расстояния и времена складываются, а какие вычитаются.

Пример 1: встречное движение

Расстояние между двумя городами 350 км. Из них одновременно навстречу друг другу выезжают два автомобиля со скоростями 40 км/ч и 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Когда объекты движутся навстречу друг другу, их скорости при сближении складываются — представьте, что один как будто «стоит на месте», а второй едет к нему со скоростью, равной сумме скоростей обоих. Скорость сближения:

$$ v_{сбл} = 40 + 60 = 100 \text{ км/ч} $$

Время до встречи — это всё расстояние, поделённое на скорость сближения:

$$ t = \frac{350}{100} = 3{,}5 \text{ ч} $$

Ответ: через 3,5 часа, то есть через 3 часа 30 минут. Частая ошибка — искать время для каждой машины отдельно и складывать их, хотя они едут одновременно, а не по очереди.

Пример 2: движение вдогонку

Пешеход вышел из пункта А в пункт Б со скоростью 4 км/ч. Через 2 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через сколько часов после своего старта велосипедист догонит пешехода?

За 2 часа форы пешеход успел уйти вперёд на расстояние:

$$ s_0 = 4 \cdot 2 = 8 \text{ км} $$

Дальше велосипедист «съедает» это расстояние со скоростью сближения, равной разности скоростей (потому что оба движутся в одну сторону, а не навстречу):

$$ v_{сбл} = 12 - 4 = 8 \text{ км/ч} $$

Время, за которое велосипедист догонит пешехода:

$$ t = \frac{8}{8} = 1 \text{ ч} $$

Ответ: через 1 час после своего старта. Ключевая идея — при движении вдогонку скорости не складываются, а вычитаются, потому что более быстрый объект нагоняет разницу постепенно, а не мгновенно.

Пример 3: движение по реке

Собственная скорость катера 15 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Катер прошёл 36 км по течению и 36 км против течения. Сколько времени заняла вся поездка?

Здесь ключевое правило: по течению скорость катера увеличивается на скорость течения, а против течения — уменьшается на неё же.

$$ v_{по} = 15 + 3 = 18 \text{ км/ч}, \qquad v_{против} = 15 - 3 = 12 \text{ км/ч} $$

Считаем время на каждом участке отдельно, потому что скорости разные:

$$ t_{по} = \frac{36}{18} = 2 \text{ ч}, \qquad t_{против} = \frac{36}{12} = 3 \text{ ч} $$

Общее время — это сумма времени на оба участка:

$$ t = 2 + 3 = 5 \text{ ч} $$

Ответ: 5 часов. Обратите внимание: собственная скорость катера — это скорость в стоячей воде, а не по течению и не против него, её нельзя путать со скоростью на конкретном участке.

Как составлять уравнение, если время или скорость неизвестны

Иногда в условии не дают готовые числа, а просят найти скорость или время через уравнение. Тогда неизвестную величину обозначают буквой (обычно $x$), выражают через неё оба времени (или оба расстояния) и приравнивают их согласно условию — например, «время туда на 1 час меньше времени обратно». Составленное уравнение решают обычным способом, а затем проверяют, что корень имеет смысл (скорость и время не могут быть отрицательными).

Пример 4: составляем уравнение сами

Велосипедист проехал 60 км от пункта А до пункта Б. На обратном пути его скорость была на 5 км/ч меньше, из-за чего обратная дорога заняла на 1 час больше, чем дорога туда. Найдите скорость велосипедиста на пути туда.

Обозначим скорость на пути туда за $x$ км/ч, тогда скорость обратно — $(x - 5)$ км/ч. Время туда — $\frac{60}{x}$ часов, время обратно — $\frac{60}{x-5}$ часов. По условию обратный путь занял на 1 час больше:

$$ \frac{60}{x-5} - \frac{60}{x} = 1 $$

Решая это уравнение (приведением к общему знаменателю и раскрытием скобок), получаем квадратное уравнение, у которого подходит только положительный корень:

$$ x = 20 \text{ км/ч} $$

Проверка: туда $\frac{60}{20} = 3$ ч, обратно $\frac{60}{15} = 4$ ч, разница действительно равна 1 часу — корень подходит по смыслу задачи.

Частые ошибки

Первая — перепутать, где скорости складываются, а где вычитаются. Правило простое: навстречу друг другу или по течению — быстрее, значит складываем; вдогонку или против течения — медленнее, значит вычитаем.

Вторая — забыть, что при встречном движении общее время до встречи одно на двоих, а не у каждого своё, тогда как при движении на разных участках (туда и обратно) время считается отдельно для каждого участка и потом складывается.

Третья — не проверить единицы измерения: если скорость в км/ч, а в условии есть минуты, их обязательно нужно перевести в часы, иначе ответ будет неверным в разы.

Четвёртая — потерять физический смысл ответа: если при решении уравнения получилась отрицательная скорость или время, значит где-то в составлении уравнения допущена ошибка со знаком.