Задание 10: классическая вероятность
Задание 10 на ОГЭ почти всегда решается одной и той же формулой. Пугает оно только на вид — на деле это одна из самых предсказуемых задач всего экзамена, если понять логику один раз.
С вероятностью мы на самом деле сталкиваемся постоянно и вне математики: прогноз погоды говорит «70% вероятность дождя», а в лотерее шанс выигрыша посчитан заранее и почти всегда не в пользу игрока. Задание 10 берёт ту же идею и упаковывает в предсказуемую математическую задачу — нужно лишь аккуратно посчитать два числа и разделить одно на другое.
Формула классической вероятности
Вероятность события — это отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов, при условии, что все исходы равновозможны (то есть ни один вариант не «более вероятен», чем другой).
$$ P(A) = \frac{m}{n} $$
Здесь $m$ — число благоприятных исходов (тех, что нам подходят по условию), а $n$ — общее число всех возможных исходов. Вероятность всегда лежит между 0 и 1: $0 \le P(A) \le 1$. Если событие невозможно, $P(A) = 0$, если оно случится точно — $P(A) = 1$.
Главная работа в этих задачах — не в формуле, а в том, чтобы правильно посчитать $m$ и $n$. Разберём на примерах, которые встречаются почти дословно.
Пример 1: монета
Монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет орёл.
Все возможные исходы: ОО, ОР, РО, РР — их 4, и все они равновозможны (монета честная). Благоприятный исход — только один, ОО.
$$ P = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$
Частая ошибка здесь — посчитать вероятность выпадения орла в одном броске ($0{,}5$) и остановиться, забыв, что бросков два и исходов нужно перебрать все комбинации, а не одну.
Пример 2: кубик
Игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число очков, кратное 3.
Всего исходов 6 (грани от 1 до 6), все равновозможны. Кратны трём числа 3 и 6 — значит, благоприятных исходов 2.
$$ P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 $$
Здесь важно не перепутать «кратно 3» с «делится на 3 без остатка, кроме самого числа» — это одно и то же, но формулировка иногда сбивает с толку на экзамене. Кратное числу $a$ — это то, что делится на $a$ нацело, включая само $a$.
Пример 3: два кубика
Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7.
Это чуть сложнее, потому что исходов уже не 6, а $6 \cdot 6 = 36$ — каждая грань первого кубика может встретиться с каждой гранью второго, и порядок важен (кубик 1 показывает 3, кубик 2 показывает 4 — это другой исход, чем 4 и 3).
Переберём пары, дающие в сумме 7: $(1,6)$, $(2,5)$, $(3,4)$, $(4,3)$, $(5,2)$, $(6,1)$ — всего 6 благоприятных исходов.
$$ P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}17 $$
Самая частая ошибка в задачах с двумя кубиками — забыть, что $(2,5)$ и $(5,2)$ — это два разных исхода, а не один. Кубики различимы (один можно назвать «первый», другой «второй»), даже если они выглядят одинаково.
Пример 4: случайный выбор
В классе учится 25 учеников, среди них 4 отличника. Для дежурства случайным образом выбирают одного ученика. Найдите вероятность того, что дежурным окажется отличник.
Всего исходов 25 — по числу учеников, каждый выбирается с равной вероятностью. Благоприятных исходов 4 — по числу отличников.
$$ P = \frac{4}{25} = 0{,}16 $$
В задачах на «случайный выбор одного из группы» формула работает без всяких перестановок и сочетаний — достаточно посчитать общее число вариантов и число подходящих.
Пример 5: дополнительное событие
В той же партии из примера с кубиком иногда спрашивают не «кратно 3», а «не кратно 3». Считать заново необязательно — проще вспомнить, что сумма вероятности события и вероятности его отрицания всегда равна единице.
$$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) $$
Мы уже знаем, что вероятность выпадения числа, кратного 3, равна $\frac{1}{3}$. Значит, вероятность того, что выпадет число, НЕ кратное 3:
$$ P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67 $$
Этот приём экономит время на экзамене всякий раз, когда искать «то, что не подходит», проще, чем искать «то, что подходит» напрямую.
Частые ошибки
Первая — перепутать местами числитель и знаменатель, то есть посчитать «долю неблагоприятных» вместо благоприятных. Всегда проверяйте на здравый смысл: если событие редкое, вероятность должна быть маленькой.
Вторая — не учесть все равновозможные исходы, особенно когда объектов несколько (два кубика, две монеты) — тогда исходов не 6 и не 2, а их произведение.
Третья — забыть перевести ответ в десятичную дробь, если того требует форма ответа в бланке ОГЭ. Проверяйте формулировку: иногда просят дробь, иногда — десятичную запись с точностью до сотых.
И главное: прежде чем считать, чётко выпишите отдельно, что такое «все исходы» и что такое «благоприятные исходы» — большинство ошибок происходит именно на этом шаге, а не в арифметике.
Полезная привычка перед сдачей ответа — прикинуть вероятность на глаз. Если в классе четверть отличников, а вы посчитали вероятность выбрать отличника равной, скажем, $\frac{1}{20}$ — стоит перепроверить вычисления, потому что интуитивно доля должна быть в районе четверти. Такая проверка на здравый смысл не заменяет расчёт, но часто спасает от обидной арифметической ошибки в последний момент.