Геометрическая прогрессия

Разбираемся, чем прогрессия с умножением отличается от прогрессии со сложением, и как её считать.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число $q$, которое называется знаменателем прогрессии.

Главное отличие от арифметической

В арифметической прогрессии соседние числа отличаются на одинаковую разность (складываем одно и то же число). В геометрической — на одинаковый множитель (умножаем на одно и то же число). Это принципиально разная динамика: арифметическая растёт «ровно», а геометрическая — со всё увеличивающимся ускорением (или таким же ускоряющимся падением, если $q \lt 1$).

Классический жизненный пример — распространение слуха или вируса: если один человек рассказывает новость троим, а каждый из них — ещё троим, число знающих людей растёт как геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 3$.

Формула n-го члена

$$ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} $$

Здесь $b_n$ — искомый член под номером $n$, $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — номер члена. Обратите внимание: показатель степени у $q$ — это $(n-1)$, а не $n$, точно так же как в арифметической прогрессии множитель у $d$ был $(n-1)$.

Пример 1. Дана прогрессия $b_1 = 3$, $q = 2$. Найдём пятый член.

$$ b_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48 $$

Проверим по цепочке: 3, 6, 12, 24, 48 — да, пятое число действительно 48.

Пример 2. Известно $b_1 = 2$ и $b_4 = 54$. Найдём знаменатель $q$.

Подставим: $54 = 2 \cdot q^{4-1} = 2 q^3$. Тогда $q^3 = 27$, откуда $q = 3$.

Формула суммы n первых членов

Складывать члены прогрессии по одному долго, если их много, поэтому есть готовая формула (работает при $q \ne 1$):

$$ S_n = \frac{b_1 (q^n - 1)}{q - 1} $$

Как и в арифметической прогрессии, часто сначала нужно определить недостающие данные ($q$ или $b_1$) из условия, а уже потом подставлять их в формулу суммы.

Пример. Найдём сумму первых пяти членов прогрессии из примера 1: $b_1 = 3$, $q = 2$.

$$ S_5 = \frac{3 \cdot (2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{3 \cdot (32 - 1)}{1} = 3 \cdot 31 = 93 $$

Проверка сложением: $3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$ — совпадает.

Задача в жизненном контексте

Вы взяли в банке вклад под сложный процент: положили 10 000 рублей, и каждый год сумма увеличивается в 1,1 раза (то есть растёт на 10%). Сколько будет на счету через 3 года (то есть каково значение на начало 4-го года, $b_4$)?

Здесь $b_1 = 10\,000$, $q = 1{,}1$. Год начисления процентов — это переход к следующему члену прогрессии, поэтому сумма через 3 года — это $b_4$:

$$ b_4 = 10\,000 \cdot 1{,}1^{4-1} = 10\,000 \cdot 1{,}1^3 = 10\,000 \cdot 1{,}331 = 13\,310 $$

Через 3 года на счету будет 13 310 рублей.

Особый случай: отрицательный знаменатель q

Знаменатель прогрессии $q$ не обязан быть положительным. Если $q \lt 0$, знаки членов прогрессии начинают чередоваться: плюс, минус, плюс, минус — потому что при каждом умножении на отрицательное число знак меняется на противоположный.

Пример. Дана прогрессия $b_1 = 4$, $q = -2$. Найдём $b_5$ и сумму первых пяти членов.

Выпишем члены по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$: $b_1=4$, $b_2 = 4 \cdot (-2) = -8$, $b_3 = 4 \cdot 4 = 16$, $b_4 = 4 \cdot (-8) = -32$, $b_5 = 4 \cdot 16 = 64$.

Обратите внимание на закономерность: члены с нечётным номером положительны, с чётным — отрицательны, потому что $(-2)$ в чётной степени даёт положительное число, а в нечётной — отрицательное.

Теперь сумма по формуле:

$$ S_5 = \frac{4 \cdot ((-2)^5 - 1)}{-2 - 1} = \frac{4 \cdot (-32 - 1)}{-3} = \frac{4 \cdot (-33)}{-3} = \frac{-132}{-3} = 44 $$

Проверим сложением: $4 - 8 + 16 - 32 + 64 = 44$ — совпадает. Формула суммы работает одинаково независимо от знака $q$, важно только аккуратно возвести отрицательное число в степень, не потеряв знак.

Как отличить арифметическую от геометрической в условии

В задаче обычно явно не написано «это арифметическая» или «это геометрическая» — нужно определить по формулировке. Если в условии речь идёт о том, что к предыдущему значению прибавляют постоянное число (увеличили на столько-то единиц, метров, рублей) — это арифметическая. Если предыдущее значение умножают на постоянный коэффициент (выросло в столько-то раз, увеличилось на определённый процент) — это геометрическая.

Проценты — частый маркер геометрической прогрессии: рост «на 10% в год» означает умножение на $1{,}1$ каждый раз, а не прибавление одного и того же числа рублей.

Частые ошибки

Самая частая путаница — применить формулу арифметической прогрессии к задаче про проценты. Рост «на 20% каждый месяц» — это умножение на $1{,}2$, а не прибавление одного фиксированного числа, поэтому здесь нужна именно геометрическая формула.

Ещё одна ошибка — забыть, что показатель степени у $q$ равен $(n-1)$, а не $n$, и по невнимательности взять на один множитель $q$ больше или меньше, чем нужно.

Также путают знаменатель прогрессии $q$ со самим членом прогрессии — например, если дано «отношение соседних членов равно 3», это сразу даёт $q = 3$, и не нужно искать его дополнительно через уравнения.

Итоги

• Геометрическая прогрессия — последовательность с постоянным множителем $q$ между соседними членами.
• N-й член: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
• Сумма первых n членов: $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ при $q \ne 1$.
• Признак геометрической прогрессии в задаче — рост «в несколько раз» или «на процент», а не «на фиксированное число».