Арифметическая прогрессия

Учимся находить любой член последовательности и сумму без выписывания всех чисел подряд.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа $d$, которое называется разностью прогрессии.

Откуда берётся прогрессия в жизни

Представьте, что вы копите на новый телефон: в первую неделю отложили 500 рублей, а дальше каждую неделю откладываете на 200 рублей больше, чем в предыдущую. Тогда суммы по неделям — это 500, 700, 900, 1100 и так далее. Это и есть арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 500$ и разностью $d = 200$.

Разность может быть и отрицательной — например, если банка воды в бутылке уменьшается на одинаковый объём каждый день.

Формула n-го члена

Чтобы не складывать 200 рублей раз за разом до нужной недели, есть прямая формула:

$$ a_n = a_1 + d(n - 1) $$

Здесь $a_n$ — значение члена под номером $n$, $a_1$ — первый член, $d$ — разность, $n$ — порядковый номер, который нас интересует.

Пример 1. В прогрессии $a_1 = 5$, $d = 3$. Найдём десятый член $a_{10}$.

$$ a_{10} = 5 + 3 \cdot (10 - 1) = 5 + 3 \cdot 9 = 5 + 27 = 32 $$

Проверим логикой: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32 — действительно, десятое число в этом ряду равно 32.

Пример 2. Известно, что $a_1 = 7$ и $a_5 = 23$. Найдём разность $d$.

Подставим в формулу: $23 = 7 + d \cdot (5-1) = 7 + 4d$. Тогда $4d = 16$, значит $d = 4$.

Формула суммы n первых членов

Если нужно не одно число, а сумма нескольких членов подряд, выписывать их все и складывать долго. Есть формула:

$$ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n $$

Идея простая: у арифметической прогрессии сумма первого и последнего члена равна сумме второго и предпоследнего, и так далее — все такие пары равны между собой. Поэтому сумму можно посчитать как «среднее значение крайних членов», умноженное на количество членов.

Если $a_n$ неизвестен, а известна только разность, его можно сначала найти по формуле $a_n = a_1 + d(n-1)$, а потом подставить в формулу суммы — то есть эти две формулы почти всегда используются в паре.

Пример. Найдём сумму первых 10 членов прогрессии из примера 1 ($a_1 = 5$, $d = 3$, мы уже знаем, что $a_{10} = 32$).

$$ S_{10} = \frac{5 + 32}{2} \cdot 10 = \frac{37}{2} \cdot 10 = 18{,}5 \cdot 10 = 185 $$

Можно проверить: сложим числа ряда 5+8+11+14+17+20+23+26+29+32. Их действительно 10 штук, и сумма равна 185.

Задача в жизненном контексте

Строительная бригада укладывает тротуарную плитку. В первый день уложили 40 м², и каждый следующий день, набив руку, укладывали на 15 м² больше, чем в предыдущий. Сколько квадратных метров плитки уложено за первую неделю (7 дней)?

Здесь $a_1 = 40$, $d = 15$, $n = 7$. Сначала найдём $a_7$: $a_7 = 40 + 15 \cdot (7-1) = 40 + 90 = 130$.

Теперь сумму: $S_7 = \frac{40 + 130}{2} \cdot 7 = \frac{170}{2} \cdot 7 = 85 \cdot 7 = 595$.

За неделю бригада уложила 595 м² плитки.

Альтернативная формула суммы: когда a_n не дан напрямую

Иногда в задаче неизвестен и первый, и последний член, но известны $a_1$ и $d$, а $a_n$ явно вычислять не хочется — тогда можно подставить формулу n-го члена прямо внутрь формулы суммы и получить второй, полностью равносильный вариант:

$$ S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n $$

Это та же самая формула суммы, просто вместо $a_n$ в неё сразу подставлено выражение $a_1 + d(n-1)$. Пользоваться можно любой из двух — какая удобнее в конкретной задаче.

Пример. В прогрессии $a_1 = 12$, $d = -4$ (прогрессия убывающая). Найдём сумму первых 6 членов.

$$ S_6 = \frac{2 \cdot 12 + (-4)(6-1)}{2} \cdot 6 = \frac{24 - 20}{2} \cdot 6 = \frac{4}{2} \cdot 6 = 2 \cdot 6 = 12 $$

Проверим по цепочке членов: 12, 8, 4, 0, -4, -8. Их сумма: $12+8+4+0-4-8 = 12$ — сходится. Обратите внимание, что часть членов отрицательная, а прогрессия и формула работают точно так же, как с положительными числами.

Частые ошибки

В формуле n-го члена вместо $(n-1)$ по невнимательности подставляют просто $n$ — из-за этого номер члена «съезжает» на единицу. Помните: $a_1$ получается при подстановке $n=1$, и тогда $d \cdot (1-1) = 0$, формула должна дать именно $a_1$, а не $a_1 + d$.

В формуле суммы забывают, что нужен именно $a_n$ (последний из суммируемых членов), а не сама разность $d$ — эти две формулы путают местами, особенно в задачах, где $a_n$ сначала нужно вычислить отдельно.

Ещё одна ловушка — знак разности. Если прогрессия убывающая ($d \lt 0$), это не отменяет формулы, просто числа будут уменьшаться, и это нормально.

Итоги

• Арифметическая прогрессия — последовательность с постоянной разностью $d$ между соседними членами.
• N-й член: $a_n = a_1 + d(n-1)$.
• Сумма первых n членов: $S_n = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n$.
• Чтобы найти сумму, часто сначала нужно найти недостающий $a_n$ по первой формуле.