Задание 11: графики функций

Разбираемся, как по формуле узнать график, а по графику — формулу, без угадывания.

График функции — это множество точек с координатами $(x; y)$, где $y$ вычислен по формуле функции для каждого $x$. По форме графика можно узнать тип функции, а по форме — восстановить недостающие коэффициенты в формуле.

Три героя задания 11

В ОГЭ обычно встречаются три типа функций, и у каждой — своя узнаваемая «походка» на графике.

Даже не строя график, по одному виду формулы можно сразу сказать, что перед вами. Если $x$ входит только в первой степени — прямая. Если есть $x^2$ — парабола. Если $x$ стоит в знаменателе — гипербола.

Линейная функция: $y = kx + b$

Здесь всего два параметра, и оба видны на графике напрямую.

$b$ — это значение $y$ в точке, где прямая пересекает вертикальную ось $Oy$ (то есть при $x = 0$). $k$ — это «наклон»: насколько круто прямая идёт вверх или вниз. Если $k \gt 0$, прямая растёт слева направо, если $k \lt 0$ — убывает. Чем больше $|k|$ по модулю, тем круче прямая.

Пример 1. Задана функция $y = 2x - 3$. Найдём, через какие удобные точки она проходит.

При $x = 0$: $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. При $x = 3$: $y = 2 \cdot 3 - 3 = 3$. Значит, прямая проходит через точки $(0; -3)$ и $(3; 3)$ — по ним её и строят на клетчатой бумаге.

Пример 2. На графике прямая проходит через точки $(0; 4)$ и $(2; 0)$. Найдём формулу $y = kx + b$.

Точка $(0; 4)$ сразу даёт $b = 4$ — это пересечение с осью $Oy$. Дальше подставим вторую точку $(2; 0)$ в формулу $y = kx + 4$: $0 = k \cdot 2 + 4$, откуда $2k = -4$, значит $k = -2$. Итоговая формула: $y = -2x + 4$.

Квадратичная функция: парабола

График функции $y = ax^2 + bx + c$ — это парабола. Знак коэффициента $a$ сразу говорит, куда она смотрит: при $a \gt 0$ ветви идут вверх (парабола как «чаша»), при $a \lt 0$ — вниз (как «горка»). Чем больше $|a|$, тем «уже» парабола.

Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через её вершину. Координата $x$ вершины находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$, а $y_0$ получаем, подставив $x_0$ обратно в формулу функции.

Пример. Дана функция $y = x^2 - 4x + 3$. Найдём координаты вершины параболы.

Здесь $a = 1$, $b = -4$. Тогда $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. Подставляем: $y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина параболы — точка $(2; -1)$, ветви смотрят вверх, так как $a = 1 \gt 0$.

Полезно ещё найти точки пересечения с осью $Ox$, то есть корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета сумма корней равна $4$, произведение равно $3$, подходят $x = 1$ и $x = 3$. Эти две точки вместе с вершиной уже дают хорошее представление о графике.

Обратная пропорциональность: гипербола

Функция $y = \frac{k}{x}$ определена при всех $x$, кроме $x = 0$ (на ноль делить нельзя), поэтому график состоит из двух отдельных веток, которые никогда не касаются осей координат.

Знак $k$ определяет, в каких координатных четвертях лежат ветки. При $k \gt 0$ обе ветки в первой и третьей четвертях (там, где $x$ и $y$ одного знака). При $k \lt 0$ — во второй и четвёртой.

Пример. График проходит через точку $(4; 3)$. Найдём $k$ и значение функции при $x = 6$.

Подставим точку в формулу $y = \frac{k}{x}$: $3 = \frac{k}{4}$, значит $k = 12$. Формула функции: $y = \frac{12}{x}$. При $x = 6$ получаем $y = \frac{12}{6} = 2$.

Как решать задание 11 на практике

Чаще всего дают несколько графиков и несколько формул, и нужно расставить соответствие. Порядок действий такой:

1. Посмотрите на формулу — есть ли $x^2$ (парабола) или $x$ в знаменателе (гипербола), или это просто $kx + b$ (прямая).
2. Определите знак старшего коэффициента ($k$, $a$ или $k$ в дроби) — это укажет направление (рост/убывание, ветви вверх/вниз, четверти).
3. Найдите одну «контрольную» точку — например, значение при $x = 0$ или при $x = 1$ — и сверьте с графиком.

Частые ошибки

Путают знак коэффициента $k$ у прямой: смотрят, что прямая идёт «слева направо и вверх», и по инерции думают, что $k \lt 0$, хотя рост как раз означает $k \gt 0$.

У параболы забывают, что знак $a$ отвечает не за смещение, а именно за направление ветвей — часто путают его со знаком $c$, который отвечает только за пересечение с осью $Oy$.

У гиперболы пытаются подставить $x = 0$ и удивляются, что «функция не работает» — но $x = 0$ просто не входит в область определения, это не ошибка в вычислениях, а свойство функции.

Итоги

• По виду формулы сразу узнаём тип графика: $kx+b$ — прямая, $ax^2+bx+c$ — парабола, $\frac{k}{x}$ — гипербола.
• У прямой $b$ — точка пересечения с $Oy$, знак $k$ — направление роста.
• У параболы вершина находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$, знак $a$ — направление ветвей.
• У гиперболы знак $k$ определяет четверти, а $x = 0$ никогда не входит в область определения.