Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ ax^2+bx+c=0 $, где $ a \ne 0 $ (если $ a=0 $, это уже линейное уравнение, а не квадратное). Здесь появляется переменная во второй степени, и у уравнения может быть до двух разных корней. Разберём главный инструмент — дискриминант, а также быстрый способ проверки через теорему Виета.

Дискриминант и формула корней. Для уравнения $ ax^2+bx+c=0 $ дискриминант считается по формуле:

$$ D = b^2 - 4ac $$

Дискриминант показывает, сколько у уравнения корней. Если $ D\gt 0 $ — два разных корня, если $ D=0 $ — один корень (иногда говорят «два одинаковых»), если $ D\lt 0 $ — действительных корней нет. Сами корни находятся по формуле:

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$

Разберём на примере из типичного задания 13:

$$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$

Здесь $ a=1, b=-5, c=6 $. Считаем дискриминант:

$$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25-24=1 $$

Дискриминант положительный, значит два корня. $ \sqrt{D}=\sqrt{1}=1 $. Подставляем в формулу:

$$ x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2} $$

Получаем $ x_1 = \frac{5+1}{2}=3 $ и $ x_2 = \frac{5-1}{2}=2 $. Ответ: $ x=2 $ или $ x=3 $.

Ещё пример, когда $ a \ne 1 $:

$$ 2x^2+3x-5=0 $$

Здесь $ a=2, b=3, c=-5 $. Дискриминант: $ D=3^2-4 \cdot 2 \cdot(-5)=9+40=49 $. Корень из 49 — ровно 7, это хороший знак (в заданиях ОГЭ дискриминант почти всегда получается «красивым» числом, если вы не ошиблись в вычислениях). Тогда:

$$ x_{1,2} = \frac{-3 \pm 7}{4} $$

$ x_1 = \frac{-3+7}{4}=1 $, а $ x_2=\frac{-3-7}{4}=-2{,}5 $. Ответ: $ x=1 $ или $ x=-2{,}5 $.

Уравнения, не похожие на стандартный вид. Иногда квадратное уравнение маскируется под другую запись, и его сначала нужно привести к виду $ ax^2+bx+c=0 $. Например:

$$ (x-4)^2 = 9 $$

Раскрываем скобку слева: $ x^2-8x+16=9 $, переносим 9 влево: $ x^2-8x+7=0 $. Теперь считаем дискриминант: $ D=(-8)^2-4 \cdot 1 \cdot 7=64-28=36 $, $ \sqrt{36}=6 $. Корни: $ x_{1,2}=\frac{8 \pm 6}{2} $, то есть $ x_1=7 $ и $ x_2=1 $. Кстати, это же уравнение можно было решить быстрее — через квадратный корень напрямую: если $ (x-4)^2=9 $, то $ x-4=\pm 3 $, откуда те же $ x=7 $ или $ x=1 $. Такой короткий путь работает всегда, когда уравнение уже дано в виде «квадрат чего-то равен числу».

А что если корней нет? Если дискриминант отрицательный, действительных корней у уравнения нет — и это тоже полноправный ответ на ОГЭ, а не признак ошибки в решении. Например:

$$ x^2+2x+5=0 $$

Считаем дискриминант: $ D=2^2-4 \cdot 1 \cdot 5=4-20=-16 $. Извлечь квадратный корень из отрицательного числа нельзя, значит уравнение не имеет корней. Не пытайтесь «подогнать» ответ — если после честного вычисления дискриминант получился отрицательным, так и пишите в ответе: «корней нет».

Теорема Виета — быстрая проверка. Для приведённого квадратного уравнения $ x^2+px+q=0 $ (то есть когда коэффициент при $ x^2 $ равен 1) сумма и произведение корней связаны с коэффициентами простой формулой:

$$ x_1+x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q $$

Возьмём уравнение $ x^2-7x+10=0 $. По теореме Виета сумма корней равна $ -(-7)=7 $, а произведение равно $ 10 $. Ищем два числа, которые в сумме дают 7, а в произведении — 10: это 2 и 5 ($ 2+5=7 $, $ 2 \cdot 5=10 $). Значит, корни — $ x_1=2 $ и $ x_2=5 $, без всякого дискриминанта. Теорема Виета отлично подходит для устной прикидки и для проверки: если вы решили уравнение через дискриминант и получили корни, подставьте их в формулы Виета — если сумма и произведение совпали с $ -p $ и $ q $, вы точно не ошиблись в вычислениях.

Практическая задача. «Площадь прямоугольника равна 40 см², а одна сторона на 3 см длиннее другой. Найдите стороны прямоугольника.» Пусть меньшая сторона — $ x $ см, тогда большая — $ (x+3) $ см. Площадь: $ x(x+3)=40 $, раскрываем: $ x^2+3x-40=0 $. Дискриминант: $ D=3^2-4 \cdot 1 \cdot(-40)=9+160=169 $, $ \sqrt{169}=13 $. Корни: $ x_{1,2}=\frac{-3\pm13}{2} $, то есть $ x_1=5 $ и $ x_2=-8 $. Сторона прямоугольника не может быть отрицательной, поэтому подходит только $ x=5 $. Ответ: стороны прямоугольника — 5 см и 8 см.

Частые ошибки. Первая — забыть, что перед корнем из дискриминанта стоит знак $ \pm $, и записать только один корень вместо двух. Вторая — перепутать знаки в формуле корней, особенно когда $ b $ отрицательное: если $ b=-5 $, то $ -b=5 $, а не $ -5$ — это частая арифметическая ловушка. Третья — в задачах с реальным контекстом (длина, количество, возраст) забыть отбросить отрицательный или нулевой корень, который не подходит по смыслу задачи, как в примере с прямоугольником выше. И последняя — не заметить, что уравнение не приведено к стандартному виду, и подставлять в формулу коэффициенты «как есть», хотя сначала нужно было раскрыть скобки и перенести всё в одну сторону.