Линейные уравнения и системы

Линейное уравнение — это уравнение, где переменная встречается только в первой степени (без $ x^2 $, без $ x $ в знаменателе). Решить его — значит найти единственное число, при подстановке которого левая и правая части совпадут. В этом уроке разберём сами уравнения, а затем — системы из двух таких уравнений, где неизвестных уже две.

Как решать линейное уравнение. Всё сводится к одному алгоритму: раскрыть скобки, перенести слагаемые с переменной в одну сторону, а числа — в другую (при переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный), привести подобные, разделить на коэффициент при переменной.

$$ 5(x-3) = 2x+9 $$

Раскрываем скобку слева: $ 5x-15 = 2x+9 $. Переносим $ 2x $ влево (меняем знак на минус), а $ -15 $ переносим вправо (меняем знак на плюс):

$$ 5x - 2x = 9 + 15 $$

$$ 3x = 24 $$

$$ x = 8 $$

Проверка: $ 5(8-3) = 5 \cdot 5 = 25 $, и $ 2 \cdot 8 + 9 = 16+9 = 25 $ — совпало, значит $ x=8 $ верно.

Ещё пример, где переменная встречается по обе стороны с разными знаками:

$$ 7 - 2x = 3x - 8 $$

Переносим $ -2x $ вправо (станет $ +2x $, слагаемое с иксом соберём справа) и $ -8 $ влево (станет $ +8 $):

$$ 7+8 = 3x+2x $$

$$ 15 = 5x \quad \Rightarrow \quad x = 3 $$

Системы двух линейных уравнений. Здесь уже две неизвестные, обычно $ x $ и $ y $, и два уравнения, которые должны выполняться одновременно. Есть два основных способа решения.

Метод подстановки. Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую и подставляем во второе уравнение.

$$ \begin{cases} x+y=10 \\ 2x-y=2 \end{cases} $$

Из первого уравнения выражаем $ y = 10-x $. Подставляем это во второе уравнение вместо $ y $:

$$ 2x - (10-x) = 2 $$

$$ 2x - 10 + x = 2 $$

$$ 3x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 4 $$

Теперь находим $ y $ из выражения $ y=10-x $: $ y = 10-4 = 6 $. Ответ: $ x=4, y=6 $. Проверяем во втором уравнении: $ 2 \cdot 4 - 6 = 8-6=2 $ — верно.

Метод сложения. Идея — сложить (или вычесть) уравнения так, чтобы одна из переменных сократилась. Для этого иногда нужно домножить одно или оба уравнения на подходящее число.

$$ \begin{cases} 3x+2y=16 \\ 3x-2y=-4 \end{cases} $$

Здесь слагаемые с $ y $ уже противоположны по знаку ($ +2y $ и $ -2y $), поэтому просто складываем уравнения почленно — левые части складываем с левыми, правые с правыми:

$$ (3x+2y)+(3x-2y) = 16+(-4) $$

$$ 6x = 12 \quad \Rightarrow \quad x=2 $$

Подставляем $ x=2 $ в любое из исходных уравнений, например в первое: $ 3 \cdot 2 + 2y = 16 $, откуда $ 2y=10 $, значит $ y=5 $. Ответ: $ x=2, y=5 $.

Задача с жизненным контекстом. В ОГЭ системы часто «зашиты» в текстовую задачу. Например: «В кассе продали 17 билетов двух видов — по 250 рублей и по 400 рублей, всего выручка составила 5300 рублей. Сколько билетов каждого вида продали?» Пусть $ x $ — число билетов по 250 рублей, $ y $ — по 400 рублей. Тогда:

$$ \begin{cases} x+y=17 \\ 250x+400y=5300 \end{cases} $$

Из первого уравнения $ x=17-y $, подставляем во второе: $ 250(17-y)+400y=5300 $, то есть $ 4250-250y+400y=5300 $, отсюда $ 150y=1050 $, значит $ y=7 $, а $ x=17-7=10 $. Продали 10 билетов по 250 рублей и 7 билетов по 400 рублей. Проверка: $ 250 \cdot 10 + 400 \cdot 7 = 2500+2800=5300 $ — сходится.

Как быстро проверить систему. После того как нашли оба значения, подставьте их сразу в оба исходных уравнения — не только в то, из которого выражали переменную. Иногда ошибка закрадывается именно на шаге подстановки, и уравнение, использованное для проверки, «случайно» тоже сходится, хотя решение неверное. Надёжнее всего проверить оба уравнения системы, как мы делали в примерах выше.

Частые ошибки. Забывают поставить скобки при подстановке выражения с минусом: $ 2x-(10-x) $ — это $ 2x-10+x $, а не $ 2x-10-x $. При методе сложения складывают уравнения, не проверив, что переменная действительно сократится — если коэффициенты не противоположны, сначала нужно домножить уравнение на число. И конечно, не забывайте находить обе переменные до конца — часто теряют баллы, найдя только $ x $, но не дописав $ y $.